Задачка про дроби. Учимся составлять неравенства и ограничения.

          В пробниках и методичках последних лет появилось довольно много задачек на всякие дроби, сумму или разность дробей. Обычно решаются такие задачи методом неравенств и ограничений на числа, фигурирующие в дробях. Поэтому в данном уроке мы разберём одну из таких задачек. Итак, читаем:

    

          Перед тем, как приступать к вопросам задачи, первым делом скачаем и выпишем всю очевидную информацию из условия.

          В задании сказано, что наши числа a, b, c и d — попарно различные. Что означают эти слова? Они означают всего лишь тот факт, что все наши числа — разные и ни одни из них друг другу не равны. Вот и всё.

          Значит, можно записать:

          a b c d.

          Если продолжим читать дальше, то мы наткнёмся на слова «положительные двузначные числа». Ещё одна зацепка. Про двузначные числа мы знаем, что любое из них находится в диапазоне от 10 до 99. Так и пишем:

          10 a 99

          10 b 99

          10 c 99

          10 d 99

          Ну вот. Это всё, что мы пока знаем из условия. Поехали отвечать на вопросы.

          Итак, отвечаем на первый вопрос:

          

          Как известно, пункт а) в таких задачах до ужаса элементарный и обычно решается простым подбором. Вот и попробуем подобрать числа a, b, c и d так, чтобы равенство выполнилось.

          Здесь у многих прямо таки чешутся руки взять и подставить самые очевидные и простые числа. Что-то типа:

          a = 2, b = 5, c = 4, d = 2. Тогда наша дробь как раз будет равна

 

          как и в задании.

          Но! За такое решение вы, к великому сожалению, получите 0 баллов. Почему? Потому, что в задании сказано, что числа a, b, c и d не просто различные, но ещё и двузначные. А наши подставленные числа — однозначные. Что делать?

          Что-то… Основное свойство дроби вспомнить.) Мы знаем, что числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля). Вопрос: на что надо умножить числитель и знаменатель нашей дроби 6/7, чтобы все четыре наших числа a, b, c, d были бы двузначными?

          Давайте прикинем. В числителе у нас стоит сумма a+c. При этом, согласно требованию двузначности, как a, так и c ну никак не могут быть меньше десятки. А это значит, что их сумма никак не может быть меньше 20:

          a+c ≥ 20.

          На что же тогда надо домножить числитель и знаменатель дроби 6/7, чтобы в числителе получить число, большее двадцатки? Да на четыре хотя бы!  

             

          А вот теперь наши возможности выбора чисел резко расширились!

          Нам нужно подобрать такие числа a, b, c и d, чтобы выполнялись равенства:

          a+c = 24 (числитель),

          b+d = 28 (знаменатель).

          И какие же это числа? Ну, например, можно выбрать такую комбинацию:

          a = 10; b = 14; c = 16; d = 12.

  Тогда наша дробь будет равна:

          Всё точь-в-точь как и в задании. Двузначные наши числа? Да, безусловно. Различные? Конечно. То есть, условия задания полностью выполнены.

          Можно было бы выбрать другую комбинацию. Например:

          a = 11; b = 13; c = 10; d = 18

          Какую хотите, такую и выбирайте.)

          Это значит, что под пунктом а) ответ очевиден — да, может.

          Ответ: Да. Например, a = 10; b = 14; c = 16; d = 12.

          Как вы видите, пункт а) совсем простенький, и ответить на такой вопрос способен даже шестиклассник! Я уж молчу про старшеклассника, который в конце 11 класса сдаёт ЕГЭ.) Для положительного ответа на вопрос («Да, может») достаточно лишь предъявить подходящий набор чисел. А вот для отрицательного ответа («Нет, не может») нужно методами алгебры и арифметики убедительно объяснить, почему такого не может быть. И именно этим мы сейчас и начнём заниматься в пункте б).

 

          

          Структура нашего вопроса очень простая: одно выражение в 16 раз меньше, чем другое выражение. Так и пишем:

 

          Нас спрашивают, может ли при данных условиях (числа a, b, c, d двузначны и различны) получиться вот так? Да или нет? Что ж, давайте разбираться.

          Во-первых, умножим обе части равенства на 16 и приведём дроби в скобках к общему знаменателю bd. Что получим:

         

  

  А дальше по правилу пропорции перемножаем всё крест на крест. Получаем:

  16(a+c)·bd = (b+d)·(ad+bc)

  Раскрываем скобки:

  16abd + 16bcd = abd + b2c + ad2 + bcd

  Теперь можно привести подобные и собрать всё слева:

 

  15abd + 15bcd — b2c ad2 = 0

  Что можно сделать дальше? Можно сгруппировать слагаемые. Вот так:

  (15abd — ad2) + (15bcd — b2c) = 0

          Дальше можно вынести в каждой скобке общий множитель. В первой скобке это ad, а во второй это bc. Выносим:

          ad(15b — d) + bc(15d — b) = 0

          Всё. Больше уже ничего не упростить. Что дальше? А дальше давайте рассуждать, основываясь на наших ограничениях на a, b, c и d. Очевидно, что, раз под нашими буковками скрываются положительные двузначные числа, то можно записать очевидные неравенства:

          a > 0,

          b > 0,

          с > 0,

          d > 0.

          Значит, их произведения ad и bc также положительны:

          ad > 0,

          bc > 0.

          Это понятно. А теперь попробуем оценить выражения, стоящие в скобочках. Нам, в первую очередь, надо понять, положительны они или отрицательны. Поэтому берём первое выражение 15b — d и пробуем его оценить снизу.

          Мы знаем, что оба числа b и d лежат в диапазоне от 10 до 99. Рассуждаем так:

          «Чтобы получить как можно меньшую разность 15b — d, нужно сделать уменьшаемое 15b как можно меньше, а вычитаемое d — как можно больше. Поэтому для оценки снизу мы должны взять нижнюю границу для b (b = 10) и верхнюю границу для d (d = 99)

          Итак, берём b = 10 и d = 99 и подставляем в нашу разность:

          15b — d ≥ 15·10-99 = 150-99 = 51.

          Те же самые рассуждения и выкладки проделываем и для второй скобочки:

          15d — b 15·10-99 = 150-99 = 51.

          О чём нам говорят эти неравенства? Мы получили, что каждая из скобочек ну никак не может быть меньше, чем 51! А это значит, что глобально каждая из наших скобочек также положительна. Раз уж она больше или равна 51.

          А теперь посмотрим внимательно на наше равенство:

          

          Может ли сумма положительных слагаемых оказаться равной нулю? Да ни в коем разе! Это значит, что, какими бы ни были наши чиселки a, b, c, d, такое равенство никогда не получится. Вот вам и ответ.)

          Ответ: Нет.

 

          Готово. Переходим к самому сложному пункту в).

          

          Итак, нам дана дробь

         

          Вопрос: какое  наименьшее значение может быть у этой дроби вот при таких условиях: 

          a>3b

          c>7d?

          Во-первых, мы с вами знаем, что в любом случае все наши числа лежат вот в таких диапазонах:

          10 a 99

          10 b 99

          10 c 99

          10 d 99

          Такие условия (требования двузначности) у нас должны выполняться железно.

          А вот теперь начнём получать ограничения на a, b, c, d  уже исходя из наших дополнительных требований данного пункта. Что же у нас получится, если мы дополнительно наложим ограничения a > 3b и c > 7d? Давайте посмотрим:

          Берём сначала условие a>3b. Поскольку a и b — натуральные числа, то условие a>3b можно переписать в виде нестрогого неравенства:

          a ≥ 3b+1

          Ну, логично. Если, например, a>30, то a≥31. Это понятно.)

          Оценим теперь число a снизу. Для этого подставляем в условие

          a ≥ 3b+1

          самое маленькое b из возможных. Очевидно, это b = 10:

          a ≥ 3·10+1

          a ≥ 30+1

          a ≥ 31

 

          Число а должно быть не меньше, чем 31. Хорошо. Теперь берём второе условие c > 7d.

          Это условие, в свою очередь, означает, что c ≥ 7d+1. И опять для оценки числа c снизу берём самое маленькое d. Десяточку (d = 10):

          c ≥ 7·10+1

          c ≥ 70+1

          c ≥ 71

          Вот так. Теперь мы видим, что с учётом дополнительных требований пункта в) диапазон возможных значений наших чисел a и c стал гораздо меньше:

          31 a ≤ 99

          71 c ≤ 99    

          Это была нижняя граница для чисел a и c. Хорошо. А что же с верхними границами для чисел b и d?

          Опять пишем наше первое условие:

          a > 3b

          3b < a

          Чтобы оценить букву b, берём и делим наше неравенство на три. Имеем полное право.)

          b < a/3

          А вот теперь вместо буквы a берём и подставляем её верхнюю границу. Это число 99:

          b < 99/3

          b < 33

          b ≤ 32

          Итак, число b при данных условиях не больше, чем 32. А изначально было не больше, чем 99.

          То же самое теперь проделываем и для числа d:

          c > 7d

          7d < c

          d < c/7

          И снова вместо буквы с берём и подставляем её верхнюю границу. Это число 99:

           d < 99/7

     

 d ≤ 14 (d — натуральное!)

          Готово дело. Вот наши новые диапазоны для чисел a, b, c и d с учётом всех дополнительных требований:

            31 a 99

            10 b 32

            71 c 99

            10 d 14

          Как вы видите, новые ограничения на наши числа стали уже гораздо жёстче. Особенно для d — всего четыре возможных значения, что совсем немного. И вот на этом этапе многие ученики и даже учителя (конечно, из тех счастливчиков, кто до этого этапа добрался) руководствуются такими неверными рассуждениями:

          «Ага, у нас есть дробь

          

          Нам теперь нужно добиться, чтобы эта дробь была как можно меньше. Для этого, очевидно, нужно, чтобы числитель дроби был как можно меньше, а знаменатель — как можно больше. Вот и возьмём для a и c их нижние границы (a = 31 и с = 71), а для знаменателя — их верхние границы (b = 10 и d = 14).

         Получаем:

         

         Значит, наименьшее значение нашей дроби 4,25! Ура! Задача решена!»

         Вынужден разочаровать. Этот ответ 4,25 — лишь довольно грубая оценка того, что должно получиться на самом деле. В чём же дело? Дело всё в том, что, когда мы перешли к неравенству

          

          мы просто неявно подставили в нашу дробь числа:

          a = 31, b = 10, c = 71, d = 14.

          Но! В данной ситуации у нас нарушаются наши дополнительные условия пункта в). Вот эти:

          a > 3b

          c > 7d

          Смотрите сами:

          a > 3b

          31 > 3·10 (верно)

         

          с > 7d

          71 > 7·14

          71 > 98 (неверно!)

         

          Что же делать? Чтобы данные требования у нас не нарушались, мы должны в нашу дробь вместо a и c подставить их нижние границы, выраженные через b и d. Вот эти:

          a = 3b+1

          c = 7d+1

          Что мы тогда получим:

  

 

          И вот теперь мы уже можем вместо d подставить её нижнюю границу d = 10 (чтобы минимизировать числитель 4d+2), а вместо b подставить верхнюю границу b = 32 (чтобы максимизировать знаменатель b+d).

          Тогда получим:

          

          Вот так! Ровно 4, а не 4,25.

          Но, прежде чем записывать окончательный ответ, нам надо показать, что это наше теоретическое наименьшее значение (четвёрка) достижимо на практике.

          Для получения этого значения мы брали граничные числа:

          b = 32

          d = 10

          Осталось найти a и с. Их мы брали в расчёте, что

          a = 3b+1

          b = 7d+1

          Подставляем b = 32 и d = 10 и получаем:

          a = 3·32+1 = 97

          c = 7·10+1 = 71

          Итак, именно при таком наборе чисел (a = 97, b = 32, c = 71, d = 10) у нас достигается наименьшее значение нашей дроби. Равное четырём.

          Ответ: 4.

 

         А теперь задачка для самостоятельного решения. На закрепление.)

        

        Ответы:

        а) Да (привести пример!);

б) Нет (доказать!);

в) 84/17.