ЗАДАТЬ ВОПРОС

Действия с логарифмами. Постигаем азы!

        На прошлом занятии мы познакомились с понятием логарифма и порешали несколько несложных примеров на определение и смысл логарифма. Для начального знакомства.)

        Теперь настал черёд более тесного знакомства с логарифмами и, соответственно, решения более серьёзных примеров. Начнём мы с ограничений в логарифмах.

 

Ограничения в логарифмах.

        Как и у любого математического понятия, у логарифма тоже есть свои свойства и фишки. Именно о них мы сейчас и будем разговаривать. И в первую очередь это ограничения в логарифмах. До сих пор мы с вами знали лишь два жёстких ограничения в математике:

        - нельзя делить на ноль;

        - нельзя извлекать корень чётной степени из отрицательного числа.

       

        С этого момента к этим двум добавляются дополнительные ограничения в логарифмах.

        Для начала запишем определение логарифма в самом общем виде. Через буквы.

        logab = c

        Напоминаю, что это равенство означает всего лишь решение показательного уравнения

        ac = b.

        И всё.

        А теперь подумаем, любым ли числом может быть a? Пусть, к примеру, a = 1. Тогда получается забавная штука: единица в любой степени равна единице… И каким бы ни было число c, числа a и b останутся единичками. Та же самая история и с нулём. Не подходят эти числа в качестве основания…

        Отрицательные числа – очень вредные и капризные. В одну степень их можно возводить, а в другую – нельзя. Вот и поступили математики с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

        В результате у нас получилось такое ограничение на основание:

        a > 0,    a ≠ 1.

        А каким может быть число b? Давайте подумаем: если заведомо положительное основание a возвести любую степень c, то какое число мы в итоге получим? Верно, положительное число и получим!

        Отсюда ещё одно ограничение на аргумент логарифма:

        b > 0.

        Вот и все ограничения. Число c (значение логарифма) может быть совершенно любым.

        Конечно, при решении безобидных числовых примеров на логарифмы эти ограничения практически никак не сказываются. Зато когда столкнётесь с логарифмическими уравнениями и неравенствами, вы про эти ограничения ещё не раз вспомните! А если не вспомните, то я вам напомню. И буду напоминать при каждом удобном случае.) Ибо эти ограничения очень (!) важны при решении уравнений и неравенств. Про ОДЗ помните? Вот, то-то и оно…

 

Свойства логарифмов.

        Итак, с ограничениями на логарифмы разобрались. Пора переходить на следующий уровень и знакомиться со свойствами логарифмов. Вот они:

        

        Здесь всюду b>0 и c>0, а также a>0, a≠1.

        Вот такой вот джентльменский набор. Ни много ни мало.) Теперь кратенько пробежимся по каждому из этих свойств. Чтобы ясно было, откуда ноги растут, как говорится.)

        Начнём с первого свойства:

        

        Обычно это свойство именуют особо - основным логарифмическим тождеством. Откуда же оно берётся? Запишем снова уже до боли знакомое нам равенство:

        logab = c

        Из самого определения логарифма мы с вами знаем, что, если число а (основание) возвести в степень c (показатель), то получим число b:

        ac = b

        А теперь подумаем, чему же равно у нас число c? Да вот же оно:

        с = logab

        Подставим это выражение в предыдущее равенство и получим как раз то, что нам и требуется:

        

        "И зачем нам такая странная перетасовка?" - спросите вы. А затем, что многоэтажное выражение превращается в элементарное b! Полезная формула.) Это единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

        Следующая группа формул (2-3):

        

        Думаю, тут комментарии излишни. Всё прямо из определения логарифма следует.) И даже примеры разбирались. В предыдущем материале. Кому всё-таки непонятно, применяем старый добрый способ — словесную расшифровку. Проверено, помогает.)

 

        Переходим к следующей группе формул (4-5):

        

        Коротко эти формулы называются логарифм произведения и логарифм частного (дроби).

        А вот с их доказательствами вопрос похитрее будет.) Эти два свойства проистекают из обычного умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Как именно? Мы с седьмого класса помним, что при перемножении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются, а при делении – вычитаются:

           

        Для доказательства, например, четвёртой формулы (логарифм произведения) придётся ввести вспомогательные обозначения:

        m = loga 

        и 

        n = logac.

        До конца доказывать эти две формулы я не буду. Как продолжить доказательство? Подставьте выражения для m и n в формулу умножения степеней и воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством (формула №1). Попробуйте! Очень полезно.)

        Кстати, прошу обратить внимание: данные формулы справедливы только при одинаковых основаниях! Если основания разные, то, скорее всего, преобразования более мудрёные…

        Идём дальше. Следующая группа формул (6-7) – это формулы, позволяющие избавляться от степеней в аргументе или в основании логарифма:

        

        Смысл их тоже прост. Если аргумент логарифма возводится в степень, то показатель степени n можно вынести наружу и приписать перед логарифмом. То же самое происходит и тогда, когда в степень возводится основание логарифма, только показатель степени переворачивается. Эти две полезные формулы избавляют нас от степеней в аргументе/основании. Если это мешает, конечно. Это понятно.)

        Осталась последняя формула №8:

        

        Это – так называемая формула перехода к новому основанию. Самая трудная для запоминания формула. Поэтому народ частенько и ленится её запоминать… А вы запомните. Не сочтите за труд.) Когда она применяется? А когда основания логарифмов – разные.) Скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один логарифм по основанию 7. Его и менять надо. На тройку.) Мы с этой формулой крепко подружимся. И примеры тоже порешаем.) В соответствующем уроке.

        Вот такой вот перечень формул и свойств. Их вполне достаточно, чтобы уверенно решать примеры на логарифмы любого уровня сложности. Эти формулы нужно не просто помнить, но и уметь применять. Причём в обоих направлениях – как слева направо, так и справа налево.

        Ещё не помешало бы знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм.

        Десятичный логарифм – это просто логарифм по основанию 10:

        log10b = lg b

        В написании десятичного логарифма всего лишь пропадает буковка "о".

        Натуральный логарифм (хотя чего уж в нём такого натурального) – это логарифм по основанию e. Иррациональному числу "e".

        e = 2,71828182845…

        Что это за загадочное число, узнаете и поймёте, когда поступите в институт. В курсе матанализа.) В школьной математике это число практически не встречается, зато в высшей – сплошь и рядом.)

        Обозначается натуральный логарифм вот так:

        logeb = ln b

        Логарифмы по этим основаниям хотя и имеют своё особое написание, но ни по определению, ни по свойствам ничем не отличаются от обычных логарифмов, скажем, по основанию два. Или три. И решаются точно так же.

        Итак, будем считать, что необходимая теоретическая база подготовлена. Переходим к практике.)

       

Начальный уровень. Немного формул. Немного дробей. Немного степеней.

        На этом уровне мы:

        - впрямую используем определение логарифма,

        - впрямую используем самые простые свойства логарифмов.

        Мыслей здесь особых не нужно. Главное – память и внимательность. Итак, читаем, смотрим, вникаем.

        Пример 1

        Вычислить:

        

        Решение примера вытекает непосредственно из определения и смысла логарифма. В какой степени 1/3 даёт 1/27? В кубе, конечно. То есть, в третьей степени.

        Ответ: 3.

 

        Следующий пример:

        Пример 2

        

        Всё то же самое, только дроби десятичные. Ну и что? Опять напрямую пользуемся определением логарифма: в какой степени 0,3 даст 0,09? В квадрате, разумеется! Или во второй степени.)

        Ответ: 2.

 

        И ещё один примерчик на дроби:

        Пример 3

        

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. Почему? Потому что связь между 0,5 и 1/128 визуально просматривается плохо. Что делать?

        Что-что… Да к обычным дробям перейти! Вот вам и первый практический совет:

        Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

         Этот приём, между прочим, работает не только в логарифмах, но и в других смежных темах – в показательных выражениях, в корнях.

        В нашем примере 0,5 = 5/10 = 1/2. Ну и как? Связь между 1/2 и 1/128 легче углядеть? Естественно! 1/128 – это 1/2 в седьмой степени.

        Ответ: 7

        Что? Забыли, что 128 – это 2 в седьмой степени? Срочно повторить степени!

 

        Следующий пример:

        Пример 4

        

        Прямое применение формулы разности логарифмов:

        

        И как вам? Оба логарифма по отдельности ровно не считаются, зато через формулу разности – отлично!

        Ответ: 1

       

        Ещё пример:

        Пример 5

        

        А вот здесь складывать по формуле нельзя: основания разные – тройка и двойка. А формула – штука жёсткая. Раз требуются одинаковые основания, значит, так и надо.

        Но тут ничего хитрого нет: оба логарифма считаются ровно.

        Ответ: 10.                     

        Не каждый, правда, догадается, что 243 – это 3 в пятой степени, а 32 – это 2 в пятой… Но тут дело уже не в логарифмах, дело в степенях!

        Вот вам и второй практический совет.

        Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

        Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но это умение слабо помогает в работе с логарифмами, да. А вот сообразить, какое число и в какой степени скрывается за числом 128 или 243 – это уже совсем другое дело. Почувствуйте разницу, что называется!

        Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

        Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

        4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

        Ответы (вразброс, естественно):

        272; 210; 36; 72; 26; 92; 34; 43; 102; 25; 35; 73; 162; 27; 53; 28; 62; 33; 29; 24; 22; 45; 252; 44; 63; 82; 93.

        Да-да! Не удивляйтесь, что ответов побольше, чем заданий. Например, 28, 44 и 162 – это всё 256.

        А теперь я настоятельно рекомендую взять любой учебник по школьной математике и порешать оттуда простейшие примеры на логарифмы. Порешали? Хоть что-то получилось? Тогда будем считать, что начальный уровень вы прошли. Переходим на следующий уровень.

 

Почти все формулы. Почти все степени. Поиск "братьев по степени".

        На этом уровне применяем почти все формулы работы с логарифмами. Кроме последней формулы перехода к новому основанию. А также закрепляем наши навыки работы со степенями.

        Поехали расширять наши возможности!

        Пример 6

        

        Вот тут прямое применение определения логарифма не годится: из четвёрки 128 простым возведением в степень никак не сделаешь. И формулы логарифмов непонятно как употреблять… Не беспокойтесь, сейчас всё получится.)  При маленьком условии, что вы узнали в лицо число 128. Да! Это 2 в седьмой степени! Так и запишем:

        log4128 = log427

        Вот и одна из формул (третья снизу) приходит на помощь. Та, где показатель степени ставится множителем перед логарифмом:

        logaxn = n·logax

        Вот и выносим семёрку за наш логарифм. Пишем:

        log427 = 7log42

        Что дальше? Дальше осталось вспомнить, что 4 = 22. Верно!

        7log42 = 7log222

        Вот и ещё одна формулка в дело просится!) Вторая снизу, где в степень возводится основание логарифма. Только в этом случае при вынесении показателя наружу его надо перевернуть: 1/n.

        

        Записываем:

        

        Ответ: 3,5

        Вот так вот! А если бы мы не узнали в числе 128 степень двойки, то так и застряли бы на этом, в общем-то несложном примере…

                                           

        А теперь мы вплотную подошли к одному весьма и весьма полезному приёму в работе с логарифмическими и показательными выражениями. Приём этот называется «поиск братьев». Братьев по степени. И по разуму тоже.) Суть этого полезного приёма заключается в тщательном осмотре примера и распознавании одного и того же числа в разных степенях.

        Этот приём (шифровка одного и того же числа в разных степенях) – очень популярный приём в логарифмах! Да и в показательных уравнениях и неравенствах тоже. Например, числа 27 и 243 – родные братья! Да, 243 из 27 прямым возведением в натуральную степень никак не получить, но зато они – родня по тройке! Так как 27 = 33, а 243 = 35. В разобранном только что примере родственниками оказались 4 и 128. По числу 2. В общем, идея понятна, да?

        И зачем всё это нужно – распознавать степени и родственников? А затем, что примеры от этого проще становятся! И формулы свойств логарифмов сразу высвечиваются.) Особенно важно получить в примере одинаковые основания у логарифмов, ибо чем больше одинаковых значков в примере и меньше разных, тем лучше. И не нужно здесь применять формулу перехода к новому основанию: зачем же из пушки по воробьям палить.?)

 

        Следующий пример на братьев (или сестёр):

        Пример 7

        Вычислить:

        

        В примере стоит сумма логарифмов, но основания логарифмов разные – тройка и девятка. Стало быть, применять напролом формулу суммы логарифмов нельзя. Но! Первый логарифм уже считается ровно, получится просто тройка:

        log327 = log333 = 3

        А со вторым логарифмом что? Из девятки 27 возведением в целую степень не получишь! Но зато 9 и 27 – родня! По тройке.) Самое время вспомнить, что:

        9 = 32

        Что ж, поработаем отдельно со вторым логарифмом. Перейдём в основании от девятки к тройке. Поможет нам такое преобразование или нет – неизвестно. Но что-то делать всё-таки надо, правда? Итак, преобразовываем второй логарифм по второй (снизу) формуле – выносим степень из основания за логарифм:

        

        Осталось лишь сложить 3 (первый логарифм) и 3/2 (второй логарифм)

        Ответ: 4,5

 

        Так, с близкой роднёй разобрались. Идём дальше. Иногда пример может не соответствовать в точности формуле, а может быть лишь похожим на одну из формул. И наша задача – сначала преобразовать пример под ту или иную формулу. Как, например, этот:

        Пример 8

        

        Напоминаю, что запись lg означает просто логарифм по основанию 10. И всё.)

        Итак, основания логарифмов уже одинаковые – десятка. Ну прям напрашивается формула суммы логарифмов! А н-е-ет, не катит! Двойка во втором слагаемом всё портит. Коэффициент, понимаешь.) А формула применима только к чистым логарифмам, безо всяких коэффициентов. Но горевать рано! Мы эту двойку сейчас ликвидируем. Безопасно для примера.) Мы её внутрь логарифма загоним. Как? Всё по той же формуле логарифма от степени:

        logaxn = n·logax

        Здесь как раз тот случай, когда формулу надо применять справа налево. Ни в одной другой теме школьной математики нельзя вот так красиво избавляться от мешающих коэффициентов, а в логарифмах – пожалуйста! Итак, избавляемся от двойки перед вторым логарифмом:

        2lg5 = lg52 = lg25

        Вот так. Осталось лишь сложить два логарифма по формуле логарифма произведения (опять же в применении справа налево). Вот и складываем:

        lg4 + lg25 = lg(4́·25) = lg100 = 2

        Напоминаю, что десятичные логарифмы формулу ничуть не портят, ибо они по своим свойствам ничем не отличаются от обычных!    

        Ответ: 2

        Вот вам и третий практический совет.

        Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот – любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

       Ну что, вот и состоялась наше более близкое знакомство с логарифмами! Осталось теперь с ними крепко подружиться. На следующем уровне и в следующем уроке.)

        Традиционные примеры для самостоятельного решения.

        Вычислить:

        

        

        

        

        Ответы (вразнобой): 0; 1; 2; 3; 

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать