Итак, в прошлый раз мы с вами успешно познакомились с тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. И чётко уяснили себе следующее:
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то безразмерные числа. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Для каждого конкретного угла — свои.
2. Тригонометрические функции крепко-накрепко связаны с углом. Знаем угол — знаем и все его тригонометрические функции. И наоборот.
Если не уяснили эти простые вещи, то добро пожаловать по ссылочке, пока не поздно. А мы продолжаем.
То, что между этой великолепной четвёркой существует тесная связь, не вызывает никаких сомнений. Всякая связь в математике задаётся, чаще всего, формулами. В тригонометрии формул — огромное количество. Это и формулы приведения, и формулы сложения, двойного угла, понижения степени и многие-многие другие.
В этом же уроке мы рассмотрим лишь самые главные из них. Они так и называются - основными тригонометрическими формулами. Их всего шесть.
Здесь "альфа" — какой-то угол.
Эти шесть формул — краеугольный камень всей тригонометрии. То, чего не знать нельзя. Если вы не знаете, чему равен, скажем, косинус тройного угла — не проблема. Никто вас не осудит. Но если вы не знаете, что sin2x+cos2x = 1, то будьте готовы получить заслуженную двойку. Вот так вот.
Сразу предупреждаю, что три последних формулы (4-6) очень часто выпадают из памяти. Почему-то… Можно, конечно, легко вывести эти формулы из первых трёх, но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ, когда на карту поставлена ваша дальнейшая судьба… сами понимаете.) Но не переживайте, совсем скоро я вам покажу простой и наглядный способ вывести все эти формулы просто и безошибочно!
Из этих формул сразу видно, что они неразрывно связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла. Именно эти формулы нам позволяют находить все тригонометрические функции одного и того же угла, если известна хотя бы одна из них. Причём (важно!) не находя сам угол! Такие задания очень популярны как сами по себе, так и могут быть промежуточным этапом в более серьёзных заданиях. В тригонометрических уравнениях, к примеру. И особенно в высшей математике, в тех же пределах, интегралах, дифференциальных уравнениях и прочих крутых темах.
Кстати говоря, хочу обратить ваше внимание на один частый ляп в неправильном написании тригонометрических функций в степенях — в квадрате, в кубе и так далее.
Например, выражение квадрат синуса (или синус в квадрате) в тригонометрии пишется вот так:
sin2x
Двойка (т.е. степень) в этом случае пишется между углом и названием функции. Эта запись как раз и говорит нам о том, что в квадрат возводится именно сама функция (т.е. в нашем случае — синус).
А вот запись
sin x2
будет говорить уже о том, что в квадрат возводится, не синус угла, а только сам угол! Почувствуйте разницу, что называется.)
Во избежание путаницы, ещё раз (и навсегда!) всё то же самое, но со скобочками:
sin2x = (sin x)2
sin x2 = sin(x2)
Конечно, заниматься возведением углов в квадрат мы в школьной тригонометрии вряд ли будем. За ненадобностью.) Зато возведением функций в квадрат — постоянно. Так что привыкаем, не путаемся и пишем правильно.
Ну что, посмотрим на вывод основных формул? Чтобы всё встало на свои места. Зачем и почему? Да потому, что любая формула запоминается гораздо проще, если есть возможность её "пощупать" в реале, а не механически зазубривать и бездумно принимать на веру, как само собой разумеющееся.) Тем более что это не просто, а очень просто!
Вывод и смысл основных тригонометрических формул.
Первым делом, я снова нарисую наш старый добрый прямоугольный треугольник. Не обязательно по линеечке, по клеточкам, а просто схематично. От руки.
Как-то вот так:
Что нам понадобится ещё для дальнейшей работы?
1. Теорема Пифагора:
a2 + b2 = c2
2. Определения тригонометрических функций:
sin α = a/c
cos α = b/c
tg α = a/b
ctg α = b/a
3. Тождественные преобразования уравнений.
Всё. Вот и все инструменты.
А вот теперь начинается самое весёлое. Сейчас я беру нашу горячо любимую теорему Пифагора a2 + b2 = c2 и… начинаю всячески над ней издеваться, подвергая её всевозможным пыткам.) Результатами пыток станут целых три формулы из нашего списка!
Итак, пытка №1. Берём теорему Пифагора
a2 + b2 = c2
и делим обе части на квадрат гипотенузы. На с2. А чего? Имеем полное право! Любая формула — это тоже уравнение! И к любой формуле применимы все те же тождественные преобразования (перенос вправо/влево, умножение/деление), которые мы проделываем для "обычных" уравнений с иксом.
Что получим:
А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что же такое a/c? Правильно, синус альфа! Противолежащий катет (a) к гипотенузе (c). А b/c? Косинус альфа! А дробь с2/с2 - это… это… единичка! Как и любое число, делённое само на себя, да. Элементарно, Ватсон!)
Так у нас с вами рождается на свет формула №1:
Эта формула — самая популярная во всей тригонометрии! По-другому её ещё называют основным тригонометрическим тождеством.
Она же, но записанная слегка по-другому (в зависимости от того, что именно надо выразить):
sin2α = 1 - cos2α
cos2α = 1 - sin2α
Эти две модификации формулы №1 весьма и весьма часто применяются в примерах по тригонометрии! Именно они позволяют легко перевращать синусы в косинусы (и наоборот). Имеет смысл запомнить.
А теперь продолжаем мучить теорему Пифагора дальше.) А что если в этот раз поделить обе части не на c2, а, скажем, на b2? Ну разве b2 чем-то хуже?!
Давайте поделим и посмотрим:
И снова соображаем из тригонометрии (и нашего рисунка), что же такое a/b. Верно, тангенс альфа! А c/b? Так сразу и не скажешь… Стоп! Но ведь что такое b/c — это же нам ясно! Это косинус альфа! У нас же в формуле стоит тот же косинус, только перевёрнутый вверх ногами — c/b. Значит, справа в скобках у нас стоит величина, обратная косинусу: 1/cos α.
Итого имеем следующее:
Переписываем в привычном виде и рождаем формулу №5:
А если поделить всё на a2? Верно! Получится шестая формула!
Попробуйте получить самостоятельно, очень полезно.)
Вторая, третья и четвёртая формулы выводятся совсем элементарно, исходя только из определения тригонометрических функций и элементарных действий с дробями. Теорема Пифагора здесь не нужна.
Что, например, у нас получится, если мы просто поделим синус на косинус?
Делим и получаем:
И все дела.) С котангенсом — аналогично.
А если перемножить тангенс и котангенс? Ну-ка, ну-ка…
Вот и вся премудрость. Убедились, насколько всё просто?)
Решение простейших заданий по тригонометрии.
Теория теорией, но нам ведь опыт наращивать надо, верно? Так что пора приступать к задачкам. Всё как всегда — от совсем простых и безобидных до вполне себе серьёзных.
Ну что, приступим? :)
1. Вычислить значение tg x, если ctg x = 1,25.
Здесь, ясное дело, надо искать формулу, связывающую тангенс и котангенс. Это четвёртая формула. Самое главное — сообразить, что вместо "альфа" можно писать любую другую букву. Лишь бы везде одна и та же была. Для нашего задания будет:
tg x · ctg x = 1
Можно прямо в эту формулу подставить значение ctg x = 1,25:
tg x · 1,25 = 1
Осталось лишь решить это простенькое уравнение. Да-да. Ещё раз подчёркиваю, что любая формула, любое соотношение, соединённое знаком равенства ("="), — это всегда уравнение! А там, где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений, да…
Наше соотношение — это тоже уравнение. Где роль неизвестного играет tg x. Прошу заметить, не икс, а именно весь тангенс целиком! Вас же не смущает уравнение, скажем, y·1,25 = 1? Что вы обычно делаете в таких случаях? Правильно, делите обе части на 1,25, чтобы слева остался чистый игрек. Вот и здесь тоже делим обе части на 1,25, добиваясь слева чистого тангенса.
Делим и получаем:
tg x = 0,8
И все дела. Это и есть верный ответ.
Можно поступить иначе. Сначала выразить из общей формулы тангенс:
tg x = 1/ctg x
А уже теперь подставить вместо ctg x его значение 1,25. Получим то же самое. И так и эдак можно. Разницы — никакой. Но… если осознать смысл этой формулы поглубже, то можно получить очень простой и очень полезный практический приём.
Запоминаем:
Если единицу разделить на котангенс, то получим тангенс. И наоборот, единица, делённая на тангенс, даёт котангенс. Эти две функции взаимно обратны!
Что? Не знаете, как разделить единичку на число? Ну, это вопрос не к тригонометрии. Вопрос к шестому классу, к дробям… Как разделить? Да просто перевернуть это самое число и все дела!
Например:
- если tg x = 3/4, то ctg x = 4/3;
- если ctg x = 2, то tg x = 1/2;
- если tg x = 0,7 = 7/10, то ctg x = 10/7;
- если ctg x = 0,25 = 1/4, то tg x = 4.
И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли…)
Продолжаем развлекаться?)
Например, классика жанра:
2. Известно, что β — острый угол в прямоугольном треугольнике.
Найти sinβ, если cosβ = 0,6.
Ищем формулу, связывающую синус и косинус. Это самая первая формула:
sin2β+cos2β = 1
Подставляем в неё известную нам величину 0,6 вместо косинуса:
sin2β+0,62 = 1
И считаем, как обычно:
sin2β+0,36 = 1
sin2β = 1 — 0,36
sin2β = 0,64
Вот, практически, и всё. У нас есть квадрат синуса. А нужен сам синус. Для этого осталось всего лишь извлечь корень и — ответ готов! Корень из 0,64 будет 0,8.
sinβ = 0,8
Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" я здесь употребил не случайно. Почему? Дело всё в том, что ответ -0,8 тоже вполне себе подходит: (-0,8)2 тоже будет 0,64.
Два разных ответа получается. А нужен один. Второй — неправильный. Что делать? Да всё как обычно! Внимательно прочитать задание! Там зачем-то сказано: "… если β — острый угол…" А лишних слов в заданиях, как правило, не бывает, да… Именно эти слова — и есть дополнительная информация к решению.
Что такое острый угол? Это угол меньше 90 градусов. А у таких углов все тригонометрические функции (в том числе и синус, да…) всегда положительные. То есть, отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем полное право.
Ответ: sinβ = 0,8
Собственно, на данном этапе нам такие тонкости особо не нужны. Пока… Ибо сейчас мы работаем только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знаем, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000 градусов… И у всех этих жутких углов тоже есть свои тригонометрические функции! С плюсом и с минусом. Всё от конкретного угла зависит.
А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. К сожалению… Но не будем бежать впереди паровоза. Всему своё время.)
Решаем следующую задачку. Покруче.
Определить косинус острого угла β в прямоугольном треугольнике, если ctgβ = 4/3.
На первый взгляд, всё просто. Но попробуем найти в нашем списке формулу, связывающую котангенс и косинус. Ищем и… Вы правы! Такой формулы нету.) Надо как-то выкручиваться…
Можно работать с шестой формулой:
Подставим в эту формулу значение котангенса и преобразуем:
Выразим из этой пропорции (т.е. тоже уравнения!) квадрат синуса:
sin2β = 9/25
Итак, квадрат синуса у нас есть. Теперь его легко можно превратить в квадрат косинуса по первой формуле:
cos2β = 1 — sin2β
Извлекаем корень и определяем сам косинус:
Читаем ещё раз задание и вспоминаем, что у острого угла все тригонометрические функции всегда положительны. Отбрасываем отрицательное значение и получаем окончательный ответ:
cosβ = 4/5
Это был один способ. Можно решать и по-другому, через пятую формулу:
Для этого нам надо:
1) Превратить котангенс в тангенс по формуле №4;
2) Подставить значение тангенса в формулу;
3) Преобразовать выражение и выразить из него квадрат косинуса;
4) Извлечь корень и получить два значения косинуса;
5) Сообразить (из условия задания), что в прямоугольном треугольнике все тригонометрические функции всегда положительны. Отбросить отрицательный ответ и получить косинус.
Как видим, хрен редьки не слаще, да.) Но это ещё не всё. Для такого решения надо ещё вспомнить эти формулы! А если забыли? Собственно, в этом-то и кроется главная проблема в их применении. Да ещё и куча вычислений… В общем, не подарок…
Без паники! Для таких задачек есть очень простой и, главное, наглядный способ решения! Геометрический.) Читаем, вникаем и запоминаем.
Итак, нам дано: ctgβ = 4/3.
Нарисуем этот котангенс!
Да-да! Схематично. Как? Очень просто! Берём черновик и рисуем любой прямоугольный треугольник. Кривовато, от руки, даже не соблюдая пропорций. У нас не ИЗО и не черчение с вами.) Выбираем любой острый угол и обозначаем его "бета".
Вот так:
Вспоминаем теперь, что котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему. И ставим на соответствующих катетах их длины. Какие? А какие в нашем котангенсе записаны! 4 и 3. Противолежащий катет a = 3, а прилежащий b = 4.
Кстати, прошу заметить, что реальные размеры треугольника нас совершенно не интересуют! Мы говорим сами себе: "Допустим, прилежащий к углу катет будет 4, а противолежащий - 3". Тогда котангенс нашего угла β будет как раз 4/3, как и в задании.
Чего ещё нам не хватает для полного счастья? Гипотенузы нам не хватает! Не беда: Пифагор ещё никого не подводил.)
Считаем:
c2 = a2 + b2
c2 = 42 + 32 = 25
c = 5
Итак, гипотенуза равна пяти. Подписываем на картинке.)
А теперь считаем косинус прямо по заклинанию: отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cosβ = b/c = 4/5
Всё! Быстро, правда?) Вот такой красивый графический способ-лайт. Безо всяких формул.) Ну… почти. Ведь теорему Пифагора всяко надо знать, да.)
Следующее задание.
Упростите выражение:
Что, внушает? В таких замороченных примерах необходимо понимать, что синусы и косинусы никоим образом не отменяют всей остальной математики. И подчиняются тем же самым общим правилам, что и обычные числа и буквы в алгебре! А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п.
Вас же никак не смущает дробь
правда ведь? Хотя кого-то она, возможно, тоже смущает, да…
Естественно, к основным правилам алгебры добавляется ещё и специфика самой тригонометрии, от этого никуда не денешься. Собственно, с этой целью и разбираем соответствующий пример, да.)
Начнём с числителя нашей здоровенной дроби. Забудем на минутку про тригонометрию и прикинем, что там можно сделать, основываясь на обычных правилах алгебры. Да хотя бы вынести один синус за скобки! Верно, давайте вынесем:
sin3x·cos x + sin x·cos3x = sin x (sin2x·cos x+cos3x)
Ой, ещё и косинус вынести можно!
sin x (sin2x·cos x+cos3x) = sin x·cos x (sin2x+cos2x)
Вот так. Самые грамотные вообще сразу целиком вынесут произведение sin x·cos x за скобку. Знания и наблюдательность иногда очень помогают. Если они есть.)
А вот теперь и тригонометрия в дело вступает! Что у нас в скобочках? Да! В скобочках у нас — чистая формула №1. Или основное тригонометрическое тождество:
sin2x+cos2x = 1
От умножения на единичку выражение не меняется. Значит, числитель нашей дроби будет не что иное, как просто sin x·cos x.
Всё. Числитель упростили до упора. Работаем со знаменателем:
(1–sin x)(1+sin x)
А здесь что? Разность ква… Точно! Разность квадратов! Такая родная и знакомая формула:
(a-b)(a+b) = a2 — b2
Под буквой "a" здесь скрывается единичка, а под буквой "b" — выражение sin x. Ну и что? Важно понимать, что под буквами в алгебраических выражениях может скрываться всё что угодно! И числа, и синусы, и логарифмы, и степени — любые сложные выражения! Алгебре все выражения по плечу. Иначе она не была бы алгеброй, да…)
Вот и срабатываем прямо по формуле разности квадратов:
(1–sin x)(1+sin x) = 12 — (sin x)2 = 1 — sin2x
А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что
1 — sin2x = cos2x
Вставляем упрощённые числитель и знаменатель в нашу дробь, сокращаем что сокращается и получаем:
Казалось бы, всё. В рамках алгебры 7-го класса такая дробь дальнейшему упрощению уже не поддаётся, но алгебра в этом примере и так постаралась на славу. Зато в рамках тригонометрии эта дробь вполне себе упрощается! Что же такое синус поделить на косинус? Тангенс, конечно же! Чистая формула №2.
Вот теперь всё. Значит, окончательный результат упрощения вот такой:
Эффект потрясающий, правда?
Запоминаем:
В тригонометрии очень популярны задания, где надо использовать алгебру 7-го класса. А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п. Проверяем замороченные примеры на алгебру 7-го класса!
Ещё из той же оперы:
Докажите тождество:
Напоминаю, что страшная фраза "доказать тождество" всего лишь означает, что надо упростить обе части предлагаемого равенства (или какую-то одну, более сложную) и убедиться, что слева и справа стоит одно и то же выражение.
Вот и пробуем добраться до одинакового выражения! Начинаем с левой части. Превращаем тангенс в отношение синуса к косинусу по второй формуле:
Выражение в скобках превращаем в квадрат косинуса по первой формуле:
Подставляем, сокращаем косинусы и получаем:
Ну вот. Левая часть упрощена по максимуму. С правой частью аналогично — формулы №1 и №3 нам в помощь:
Вот и всё! Слева и справа мы получили совершенно одинаковые выражения! А именно — sinα·cosα. Что и требовалось доказать.)
Итак, самое главное.
Чётко уясняем: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) одного угла неразрывно связаны между собой основными тригонометрическими формулами. Если нам известна хотя бы одна из функций — значит, можно (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные!
А теперь порешаем, как обычно.
Простенькие задачки:
1. Косинус острого угла равен 7/25. Найдите синус этого угла.
2. Известно, что β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти tgβ, если sinβ = 15/17.
3. Найдите косинус острого угла A, если известно, что ctg A = 2,4.
Покруче:
4. Найдите значение выражения 4cos213° - 4 + 4sin213°.
5. Упростите выражение и найдите его значение, если sinβ = 1:
И совсем круто:
6. Известно, что tg y = 3. Найдите значение выражения:
Что, страшно? Мы такого не решали? Да, не решали. Но и самим поразмышлять тоже иногда полезно, да.) Подсказка: основное свойство дроби вам в помощь! Ну и формула №2 для тангенса, само собой.)
Ответы (в традиционном беспорядке):
