ЗАДАТЬ ВОПРОС

Связь между тригонометрическими функциями одного угла. Основные тригонометрические формулы.

        Итак, в прошлый раз мы с вами успешно познакомились с тригонометрическими функциямисинусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. И чётко уяснили себе следующее:

        1. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это просто какие-то безразмерные числа. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Для каждого конкретного угла – свои.

        2. Тригонометрические функции крепко-накрепко связаны с углом. Знаем угол – знаем и все его тригонометрические функции. И наоборот.

        Если не уяснили эти простые вещи, то добро пожаловать по ссылочке, пока не поздно. А мы продолжаем.

        То, что между этой великолепной четвёркой существует тесная связь, не вызывает никаких сомнений. Всякая связь в математике задаётся, чаще всего, формулами. В тригонометрии формул – огромное количество. Это и формулы приведения, и формулы сложения, двойного угла, понижения степени и многие-многие другие.

        В этом же уроке мы рассмотрим лишь самые главные из них. Они так и называются - основными тригонометрическими формулами. Их всего шесть.

        Вот они:

        Здесь "альфа" – какой-то угол.

        Эти шесть формул – краеугольный камень всей тригонометрии. То, чего не знать нельзя. Если вы не знаете, чему равен, скажем, косинус тройного угла – не проблема. Никто вас не осудит. Но если вы не знаете, что sin2x+cos2x = 1, то будьте готовы получить заслуженную двойку. Вот так вот.

        Сразу предупреждаю, что три последних формулы (4-6) очень часто выпадают из памяти. Почему-то… Можно, конечно, легко вывести эти формулы из первых трёх, но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ, когда на карту поставлена ваша дальнейшая судьба… сами понимаете.) Но не переживайте, совсем скоро я вам покажу простой и наглядный способ вывести все эти формулы просто и безошибочно!

        Из этих формул сразу видно, что они неразрывно связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла. Именно эти формулы нам позволяют находить все тригонометрические функции одного и того же угла, если известна хотя бы одна из них. Причём (важно!) не находя сам угол! Такие задания очень популярны как сами по себе, так и могут быть промежуточным этапом в более серьёзных заданиях. В тригонометрических уравнениях, к примеру. И особенно в высшей математике, в тех же пределах, интегралах, дифференциальных уравнениях и прочих крутых темах.

        Кстати говоря, хочу обратить ваше внимание на один частый ляп в неправильном написании тригонометрических функций в степенях – в квадрате, в кубе и так далее.

        Например, выражение квадрат синуса (или синус в квадрате) в тригонометрии пишется вот так:

        sin2x

        Двойка (т.е. степень) в этом случае пишется между углом и названием функции. Эта запись как раз и говорит нам о том, что в квадрат возводится именно сама функция (т.е. в нашем случае – синус).

        А вот запись

        sin x2

        будет говорить уже о том, что в квадрат возводится, не синус угла, а только сам угол! Почувствуйте разницу, что называется.)

        Во избежание путаницы, ещё раз (и навсегда!) всё то же самое, но со скобочками:

        sin2x = (sin x)2

       sin x2 = sin(x2)

        Конечно, заниматься возведением углов в квадрат мы в школьной тригонометрии вряд ли будем. За ненадобностью.) Зато возведением функций в квадрат – постоянно. Так что привыкаем, не путаемся и пишем правильно.

        Ну что, посмотрим на вывод основных формул? Чтобы всё встало на свои места. Зачем и почему? Да потому, что любая формула запоминается гораздо проще, если есть возможность её "пощупать" в реале, а не механически зазубривать и бездумно принимать на веру, как само собой разумеющееся.) Тем более что это не просто, а очень просто!

 

Вывод и смысл основных тригонометрических формул.

        Первым делом, я снова нарисую наш старый добрый прямоугольный треугольник. Не обязательно по линеечке, по клеточкам, а просто схематично. От руки.

        Как-то вот так:

        

        Что нам понадобится ещё для дальнейшей работы?

        1. Теорема Пифагора:

        a2 + b2 = c2

       

        2. Определения тригонометрических функций:

        sin α = a/c

        cos α = b/c

        tg α = a/b

        ctg α = b/a

 

        3. Тождественные преобразования уравнений.

 

        Всё. Вот и все инструменты.

        А вот теперь начинается самое весёлое. Сейчас я беру нашу горячо любимую теорему Пифагора a2 + b2 = c2 и… начинаю всячески над ней издеваться, подвергая её всевозможным пыткам.) Результатами пыток станут целых три формулы из нашего списка!

        Итак, пытка №1. Берём теорему Пифагора

        a2 + b2 = c2

        и делим обе части на квадрат гипотенузы. На с2. А чего? Имеем полное право! Любая формула – это тоже уравнение! И к любой формуле применимы все те же тождественные преобразования (перенос вправо/влево, умножение/деление), которые мы проделываем для "обычных" уравнений с иксом.

        Что получим:

        

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что же такое a/c? Правильно, синус альфа! Противолежащий катет (a) к гипотенузе (c). А b/c? Косинус альфа! А дробь с22  - это… это... единичка! Как и любое число, делённое само на себя, да. Элементарно, Ватсон!)

        Так у нас с вами рождается на свет формула №1:

        Эта формула – самая популярная во всей тригонометрии! По-другому её ещё называют основным тригонометрическим тождеством.

        Она же, но записанная слегка по-другому (в зависимости от того, что именно надо выразить):

        sin2α = 1 - cos2α

        cos2α = 1 - sin2α

        Эти две модификации формулы №1 весьма и весьма часто применяются в примерах по тригонометрии! Именно они позволяют легко перевращать синусы в косинусы (и наоборот). Имеет смысл запомнить.

        А теперь продолжаем мучить теорему Пифагора дальше.) А что если в этот раз поделить обе части не на c2, а, скажем, на b2? Ну разве b2 чем-то хуже?!

        Давайте поделим и посмотрим:

        

        

        И снова соображаем из тригонометрии (и нашего рисунка), что же такое a/b. Верно, тангенс альфа! А c/b? Так сразу и не скажешь… Стоп! Но ведь что такое b/c – это же нам ясно! Это косинус альфа! У нас же в формуле стоит тот же косинус, только перевёрнутый вверх ногами – c/b. Значит, справа в скобках у нас стоит величина, обратная косинусу: 1/cos α.

        Итого имеем следующее:

        

        Переписываем в привычном виде и рождаем формулу №5:

        А если поделить всё на a2? Верно! Получится шестая формула!

        Попробуйте получить самостоятельно, очень полезно.)

        Вторая, третья и четвёртая формулы выводятся совсем элементарно, исходя только из определения тригонометрических функций и элементарных действий с дробями. Теорема Пифагора здесь не нужна.

        Что, например, у нас получится, если мы просто поделим синус на косинус?

        Делим и получаем:

        

        И все дела.) С котангенсом – аналогично.

        А если перемножить тангенс и котангенс? Ну-ка, ну-ка...

        

        Вот и вся премудрость. Убедились, насколько всё просто?)

 

Решение простейших заданий по тригонометрии.

        Теория теорией, но нам ведь опыт наращивать надо, верно? Так что пора приступать к задачкам. Всё как всегда – от совсем простых и безобидных до вполне себе серьёзных.

        Ну что, приступим? :)

        1. Вычислить значение tg x, если ctg x = 1,25.

        Здесь, ясное дело, надо искать формулу, связывающую тангенс и котангенс. Это четвёртая формула. Самое главное – сообразить, что вместо "альфа" можно писать любую другую букву. Лишь бы везде одна и та же была. Для нашего задания будет:

        tg x · ctg x = 1

        Можно прямо в эту формулу подставить значение ctg x = 1,25:

        tg x · 1,25 = 1

        Осталось лишь решить это простенькое уравнение. Да-да. Ещё раз подчёркиваю, что любая формула, любое соотношение, соединённое знаком равенства ("="), – это всегда уравнение! А там, где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений, да…

        Наше соотношение – это тоже уравнение. Где роль неизвестного играет tg x. Прошу заметить, не икс, а именно весь тангенс целиком! Вас же не смущает уравнение, скажем, y·1,25 = 1? Что вы обычно делаете в таких случаях? Правильно, делите обе части на 1,25, чтобы слева остался чистый игрек. Вот и здесь тоже делим обе части на 1,25, добиваясь слева чистого тангенса.

        Делим и получаем:

        tg x = 0,8

        И все дела. Это и есть верный ответ.

        Можно поступить иначе. Сначала выразить из общей формулы тангенс:

        tg x = 1/ctg x

        А уже теперь подставить вместо ctg x его значение 1,25. Получим то же самое. И так и эдак можно. Разницы – никакой. Но… если осознать смысл этой формулы поглубже, то можно получить очень простой и очень полезный практический приём.

        Запоминаем:

        Если единицу разделить на котангенс, то получим тангенс. И наоборот, единица, делённая на тангенс, даёт котангенс. Эти две функции взаимно обратны!

        Что? Не знаете, как разделить единичку на число? Ну, это вопрос не к тригонометрии. Вопрос к шестому классу, к дробям... Как разделить? Да просто перевернуть это самое число и все дела!

        Например:

        - если tg x = 3/4, то ctg x = 4/3;

        - если ctg x = 2, то tg x = 1/2;

        - если tg x = 0,7 = 7/10, то ctg x = 10/7;

        - если ctg x = 0,25 = 1/4, то tg x = 4.

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли…)

 

        Продолжаем развлекаться?)

        Например, классика жанра:

        2. Известно, что β – острый угол в прямоугольном треугольнике.

        Найти sinβ, если cosβ = 0,6.

       

        Ищем формулу, связывающую синус и косинус. Это самая первая формула:

        sin2β+cos2β = 1

        Подставляем в неё известную нам величину 0,6 вместо косинуса:

        sin2β+0,62 = 1

        И считаем, как обычно:

        sin2β+0,36 = 1

        sin2β = 1 – 0,36

        sin2β = 0,64

        Вот, практически, и всё. У нас есть квадрат синуса. А нужен сам синус. Для этого осталось всего лишь извлечь корень и – ответ готов! Корень из 0,64 будет 0,8.

        sinβ = 0,8

        Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" я здесь употребил не случайно. Почему? Дело всё в том, что ответ -0,8 тоже вполне себе подходит: (-0,8)2 тоже будет 0,64.

        Два разных ответа получается. А нужен один. Второй – неправильный. Что делать? Да всё как обычно! Внимательно прочитать задание! Там зачем-то сказано: "… если β – острый угол…" А лишних слов в заданиях, как правило, не бывает, да… Именно эти слова – и есть дополнительная информация к решению.

        Что такое острый угол? Это угол меньше 90 градусов. А у таких углов все тригонометрические функции (в том числе и синус, да…) всегда положительные. То есть, отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем полное право.

        Ответ: sinβ = 0,8

        Собственно, на данном этапе нам такие тонкости особо не нужны. Пока… Ибо сейчас мы работаем только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знаем, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000 градусов… И у всех этих жутких углов тоже есть свои тригонометрические функции! С плюсом и с минусом. Всё от конкретного угла зависит.

        А вот старшеклассникам без учёта знака – никак. К сожалению… Но не будем бежать впереди паровоза. Всему своё время.)

 

        Решаем следующую задачку. Покруче.

        Определить косинус острого угла β в прямоугольном треугольнике, если ctgβ = 4/3.

        На первый взгляд, всё просто. Но попробуем найти в нашем списке формулу, связывающую котангенс и косинус. Ищем и… Вы правы! Такой формулы нету.) Надо как-то выкручиваться…

        Можно работать с шестой формулой:

        

        Подставим в эту формулу значение котангенса и преобразуем:

        

        Выразим из этой пропорции (т.е. тоже уравнения!) квадрат синуса:

        sin2β = 9/25

        Итак, квадрат синуса у нас есть. Теперь его легко можно превратить в квадрат косинуса по первой формуле:

        cos2β = 1 – sin2β

        

        Извлекаем корень и определяем сам косинус:

        

        Читаем ещё раз задание и вспоминаем, что у острого угла все тригонометрические функции всегда положительны. Отбрасываем отрицательное значение и получаем окончательный ответ:

        cosβ = 4/5

        Это был один способ. Можно решать и по-другому, через пятую формулу:

        

        Для этого нам надо:

        1) Превратить котангенс в тангенс по формуле №4;

        2) Подставить значение тангенса в формулу;

        3) Преобразовать выражение и выразить из него квадрат косинуса;

        4) Извлечь корень и получить два значения косинуса;

        5) Сообразить (из условия задания), что в прямоугольном треугольнике все тригонометрические функции всегда положительны. Отбросить отрицательный ответ и получить косинус.

        Как видим, хрен редьки не слаще, да.) Но это ещё не всё. Для такого решения надо ещё вспомнить эти формулы! А если забыли? Собственно, в этом-то и кроется главная проблема в их применении. Да ещё и куча вычислений… В общем, не подарок…

        Без паники! Для таких задачек есть очень простой и, главное, наглядный способ решения! Геометрический.) Читаем, вникаем и запоминаем.

        Итак, нам дано: ctgβ = 4/3.

        Нарисуем этот котангенс!

        Да-да! Схематично. Как? Очень просто! Берём черновик и рисуем любой прямоугольный треугольник. Кривовато, от руки, даже не соблюдая пропорций. У нас не ИЗО и не черчение с вами.) Выбираем любой острый угол и обозначаем его "бета".

        Вот так:

        

        Вспоминаем теперь, что котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему. И ставим на соответствующих катетах их длины. Какие? А какие в нашем котангенсе записаны! 4 и 3. Противолежащий катет a = 3, а прилежащий b = 4.

        Кстати, прошу заметить, что реальные размеры треугольника нас совершенно не интересуют! Мы говорим сами себе: "Допустим, прилежащий к углу катет будет 4, а противолежащий - 3". Тогда котангенс нашего угла β будет как раз 4/3, как и в задании.

        

        Чего ещё нам не хватает для полного счастья? Гипотенузы нам не хватает! Не беда: Пифагор ещё никого не подводил.)

        Считаем:

        c2 = a2 + b2

        c2 = 42 + 32 = 25

        c = 5

        Итак, гипотенуза равна пяти. Подписываем на картинке.)

        А теперь считаем косинус прямо по заклинанию: отношение прилежащего катета к гипотенузе.

        cosβ = b/c = 4/5

        Всё! Быстро, правда?) Вот такой красивый графический способ-лайт. Безо всяких формул.) Ну… почти. Ведь теорему Пифагора всяко надо знать, да.)

 

        Следующее задание.

        Упростите выражение:

        

        Что, внушает? В таких замороченных примерах необходимо понимать, что синусы и косинусы никоим образом не отменяют всей остальной математики. И подчиняются тем же самым общим правилам, что и обычные числа и буквы в алгебре! А именно – разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п.

        Вас же никак не смущает дробь

        

        правда ведь? Хотя кого-то она, возможно, тоже смущает, да…

        Естественно, к основным правилам алгебры добавляется ещё и специфика самой тригонометрии, от этого никуда не денешься. Собственно, с этой целью и разбираем соответствующий пример, да.)

        Начнём с числителя нашей здоровенной дроби. Забудем на минутку про тригонометрию и прикинем, что там можно сделать, основываясь на обычных правилах алгебры. Да хотя бы вынести один синус за скобки! Верно, давайте вынесем:

        sin3x·cos x + sin x·cos3x = sin x (sin2x·cos x+cos3x)

        Ой, ещё и косинус вынести можно!

        sin x (sin2x·cos x+cos3x) = sin x·cos x (sin2x+cos2x)

        Вот так. Самые грамотные вообще сразу целиком вынесут произведение sin x·cos x за скобку. Знания и наблюдательность иногда очень помогают. Если они есть.)

        А вот теперь и тригонометрия в дело вступает! Что у нас в скобочках? Да! В скобочках у нас – чистая формула №1. Или основное тригонометрическое тождество:

        sin2x+cos2x = 1

        От умножения на единичку выражение не меняется. Значит, числитель нашей дроби будет не что иное, как просто sin x·cos x.

        Всё. Числитель упростили до упора. Работаем со знаменателем:

        (1–sin x)(1+sin x)

        А здесь что? Разность ква… Точно! Разность квадратов! Такая родная и знакомая формула:

        (a-b)(a+b) = a2b2

        Под буквой "a" здесь скрывается единичка, а под буквой "b" – выражение sin x. Ну и что? Важно понимать, что под буквами в алгебраических выражениях может скрываться всё что угодно! И числа, и синусы, и логарифмы, и степени – любые сложные выражения! Алгебре все выражения по плечу. Иначе она не была бы алгеброй, да…)

        Вот и срабатываем прямо по формуле разности квадратов:

        (1–sin x)(1+sin x) = 12 – (sin x)2 = 1 – sin2x

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что

        1 – sin2x = cos2x

        Вставляем упрощённые числитель и знаменатель в нашу дробь, сокращаем что сокращается и получаем:

        

        Казалось бы, всё. В рамках алгебры 7-го класса такая дробь дальнейшему упрощению уже не поддаётся, но алгебра в этом примере и так постаралась на славу. Зато в рамках тригонометрии эта дробь вполне себе упрощается! Что же такое синус поделить на косинус? Тангенс, конечно же! Чистая формула №2.

        

        Вот теперь всё. Значит, окончательный результат упрощения вот такой:

        

        Эффект потрясающий, правда?

 

        Запоминаем:

        В тригонометрии очень популярны задания, где надо использовать алгебру 7-го класса. А именно – разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п. Проверяем замороченные примеры на алгебру 7-го класса!

        Ещё из той же оперы:

        Докажите тождество:

        

        Напоминаю, что страшная фраза "доказать тождество" всего лишь означает, что надо упростить обе части предлагаемого равенства (или какую-то одну, более сложную) и убедиться, что слева и справа стоит одно и то же выражение.

        Вот и пробуем добраться до одинакового выражения! Начинаем с левой части. Превращаем тангенс в отношение синуса к косинусу по второй формуле:

        

        Выражение в скобках превращаем в квадрат косинуса по первой формуле:

        

        Подставляем, сокращаем косинусы и получаем:

        

        Ну вот. Левая часть упрощена по максимуму. С правой частью аналогично – формулы №1 и №3 нам в помощь:

        

        Вот и всё! Слева и справа мы получили совершенно одинаковые выражения! А именно – sinα·cosα. Что и требовалось доказать.)

        Итак, самое главное.

        Чётко уясняем: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) одного угла неразрывно связаны между собой основными тригонометрическими формулами. Если нам известна хотя бы одна из функций – значит, можно (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные!

        

        А теперь порешаем, как обычно.

        Простенькие задачки:

        1. Косинус острого угла равен 7/25. Найдите синус этого угла.

        2.  Известно, что β – угол в прямоугольном треугольнике. Найти tgβ, если sinβ = 15/17.

        3. Найдите косинус острого угла A, если известно, что ctg A = 2,4.

       

        Покруче:

        4. Найдите значение выражения 4cos213° - 4 + 4sin213°.

        5. Упростите выражение и найдите его значение, если sinβ = 1:

        

 

        И совсем круто:

        6. Известно, что tg y = 3. Найдите значение выражения:

        

        Что, страшно? Мы такого не решали? Да, не решали. Но и самим поразмышлять тоже иногда полезно, да.) Подсказка: основное свойство дроби вам в помощь! Ну и формула №2 для тангенса, само собой.)

 

        Ответы (в традиционном беспорядке):

        

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать