ЗАДАТЬ ВОПРОС

Отсчёт углов на тригонометрическом круге. Положительные и отрицательные углы. Распределение углов по четвертям.

        В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили – кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

        Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно – правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии – никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол – ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол. Нет угла – нету и тригонометрических функций, да…

        Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

        1) Как отсчитываются углы на круге?

        2) В чём они считаются (измеряются)?

        Ответ на первый вопрос – и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это – тема следующего отдельного урока.

        Приступим?

 

Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

        У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

        К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в "минус" (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

        А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг – вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

        Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

        Я нарисую вот такую красивую картинку:

        Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

        Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

        Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси – они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

        И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная – это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

        Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

        А теперь посмотрим на другую картинку:

        Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак "минус".) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка – направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

        Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

        Запоминаем:

        1. Начало отсчёта углов – от положительной полуоси ОХ. По часам – "минус", против часов – "плюс".

        2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

 

        Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг – вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос – в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

        Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

        А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да...) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

        Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

        Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

        Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° – туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

        И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

        Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа "определите наибольший отрицательный угол" и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

        Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

 

        Запоминаем:

        Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

 

        А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° – вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону – и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

        И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) – рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

        Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

        Например:

        sin45° = sin(-315°)

        cos120° = cos(-240°)

        tg249° = tg(-111°)

        ctg333° = ctg(-27°)

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них – одинаковы! Идея ясна?

        А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений – ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

        Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

        Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

 

Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

        Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

        Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

        И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов – это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° – это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем... Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) – 55 градусов или же 64 – неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

        Получаем картинку:

        Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

        Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° - это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

        Рисуем:

        Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

        Запоминаем:

        Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

        Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

        Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

 

Что делать с углами, большими 360°?

        "А такие разве бывают?" – спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

        Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое – выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

        Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот – дошли до 360°.

        Ну и крутим себе дальше!

        Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

        444°-360° = 84°.

        Итак, 444° - это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

        Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

        Вот так:

        Здесь я уж не стал загромождать рисунок – подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

        Зато я "улиткой" или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия – это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

        А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

        А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

        А почему – нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге – никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

        Запоминаем:

        Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

 

        Например:

        В какую четверть попадает угол 1000°?

        Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один – уже 720°, третий - 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

        1000° - 2·360° = 280°

        Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

        Рисуем:

        Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

        И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° – разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы – одинаковые!

        Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

        Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

        Например:

        В какую четверть попадает угол 31240° ?

        И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

        Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

        Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

        Получим 31240:360 = 86,777777….

        То, что число получилось дробным – не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)

        Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

        В градусах это будет 86·360° = 30960°

        Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

        31240° - 30960° = 280°

        Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

 

        Итак, мораль сей басни такова:

        Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

        1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

        2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

        3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

 

Как работать с отрицательными углами?

        Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

        Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов – оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

        Картинка станет вот такой:

        При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось – это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

        Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

        Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

        Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

        Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

        А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить – в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

        Например:

        В какую четверть попадает угол -2000°?

        Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

        5·360° = 1800°

        Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

        Считаем оставшийся хвостик:

        2000° – 1800° = 200°

        А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

        -2000° = -1800° - 200°

        Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

        Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

        Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

        Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак "минус" на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов. 

        Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

        Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

        

        А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться...

        Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да...) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

 

        Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

        1. В какую четверть попадает угол -345°?

        2. В какую четверть попадает угол 666°?

        3. В какую четверть попадает угол 5555°?

        4. В какую четверть попадает угол -3700°?

 

        Всё хорошо? Поехали дальше.

        5. Какой знак имеет cos999°?

        6. Какой знак имеет ctg999°?

        И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

 

        Ответы:

        1. 1

        2. 4

        3. 2

        4. 3

        5. "+"

        6. "-"

        В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

        В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число "пи", научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать