ЗАДАТЬ ВОПРОС

Что такое уравнение? Как решать уравнения?

        Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. :) Так что же такое уравнение?

        То, что это слово однокоренное со словами "равный", "равенство", возражений, думаю, ни у кого не вызывает.

        Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком "=" (равно).

        Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто "переменная". Которая обычно обозначается буквой "х".

        Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальных уроках.

 

Что значит решить уравнение?

        Идём дальше.

        Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. :) При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то – нет.

        Так вот:

        Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

 

        Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. :)

        Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно - корни уравнения.

        Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней – целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)

        А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…

        В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

 

Для чего нужны уравнения?

        Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.

        А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)

        Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

        Итак, запоминаем:

        Уравнения – очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

 

А какие бывают уравнения?

        Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:

1. Линейные,

2. Квадратные,

3. Дробные (или дробно-рациональные),

4. Прочие.

        Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

        Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да...) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. :)

        В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы и правила.

        Называются эти правила – тождественные (или – равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

 

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

        Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.

        Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но – крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.

        Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?

        Итак, вперёд!

 

        Первое тождественное преобразование:

        К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

 

        Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. :)

        Например, такое крутое уравнение:

        

        Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

        

        А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!

        Вот что у вас происходит:

        

        И результат получается тем же самым:

        

        Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!

        Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака – это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.

        И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях – незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…

        Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

 

        Второе тождественное преобразование:

        Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

 

        Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

        

        Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?

        Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

        Вот так:

        

        Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

        

        Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. :)

        И все дела.)

        Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)

        Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

 

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.

        Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.

        Пример для новичков:

        1 – х = 3 – 2х

        Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: "С иксами влево, без иксов – вправо".

        Эта мантра – универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? ? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:

        1 – х +2х = 3

        Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос – с каким знаком? Ответ "с никаким" не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак "плюс". Так уж в математике повелось: ничего не написано – значит, плюс.)

        И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:

        -х + 2х = 3 - 1

        Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

        х = 2

        Это было совсем примитивное уравнение.

 

        Теперь пример покруче, для старшеклассников:

        Решить уравнение:

               

        Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование ("С иксами влево …."). Для этого слагаемое с иксом (то есть, -log3x) переносим влево. Со сменой знака:

               

        А числовое выражение (log34) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

               

        Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:

        х=3

       

        Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

               

        И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование – переносим sin x влево (с минусом), а -0,25  переносим вправо (с плюсом):

               

        Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.

        Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.

        Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

 

        Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)

        Решить уравнение:

        7х=28

        Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…

        Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)

        Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение целиком – пожалуйста (вопрос – зачем?). А семёрку отдельно – никак нет.

        Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка – мешает. Вот и делим левую часть на семь. "Очищаем" икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.

        Ответ: х=4

 

        Или такое уравнение:

        

        Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично – поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…

        Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 – не самая трудная работа.)

        

        Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

 

        Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:

        Решить уравнение:

        

        Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. :) Вот и делим на 2 всю левую часть:

        

        Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

        

        Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

        

       

        Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений – штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.

        Проблема первая (для малоопытных):

        Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…

        Например, такое линейное уравнение:

        10х + 5 = 5х – 20

        С чего начинать? Можно начать с переноса:

        10х – 5х = -20 - 5

        А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

               

        Как видим, и так и сяк решать можно. И это – в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: "Как правильно?"

        По-всякому правильно! Кому как удобнее. :) Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

 

        Проблема вторая (для всех...ну… почти):

        Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…

        Обе эти проблемы устраняются только одним способом – практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания - легче. И в итоге не математика командует вами, а вы – математикой. :)

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать