ЗАДАТЬ ВОПРОС

Как решать квадратные уравнения?

 

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.

        Обычно квадратные уравнения – одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)

        Начнём с названия.

        Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово "квадратное". Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. Также в уравнении могут быть (или не быть – как уж повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). Но это ещё не всё. При этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.

        В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

        

        Здесь a, b, c – какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а – любым числом, кроме нуля. Почему – объясню чуть ниже.

        Например:

        

        Здесь a=1; b=4; c=-5

        Или такое:

        

        Здесь a=-2; b=-5; c=3

        Или:

        

        Здесь a=0,5; b=-2; c=2

        И так далее…

        В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются - полными.

        А ещё бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас исчезнет икс в первой степени.

        Получится, к примеру, что-то типа:

        x2–9 = 0

        x2+25 = 0

        И так далее…

        А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:

        x2-4x = 0

        -x2+10x = 0

        И т.д. и т.п.

        А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:

        0,1x2 = 0

        -3x2 = 0

        Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите) неполными.)

        Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов – полные и неполные.

        А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. А давайте подумаем, что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…

 

Общая формула корней квадратного уравнения.

       Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Всего одной!

        И теперь у меня для вас есть две новости – хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…

        Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура – очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)

        Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще! Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)

        "Формула! Где формула?! Ты достал формулу?" - слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…

        Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)

        Вот такая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…

        Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Аккуратно подставляем все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.

 

Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.

        Выражение b2-4ac, стоящее в формуле под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников. Слова "решаем через дискриминант" звучат обнадёживающе и вселяют оптимизм!)

        Обычно дискриминант обозначается буковкой D:

        

        Тогда, с учётом данного обозначения, общая формула корней станет выглядеть вот так:

        

        Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём его смысл? Почему для, скажем, -b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы – они и в Африке буквы… А тут – такое красивое слово! Дискриминант…

        А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения по общей формуле возможны всего три ситуации.

        1. Дискриминант положительный (D>0).

        Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво – вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.

        Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет два различных корня.

Вот они:

        Два – потому, что общая формула в этой ситуации разбивается на два отдельных случая. А именно – какой знак, плюс или минус, берётся перед радикалом. Каждый случай даёт свой корень.

 

        2. Дискриминант равен нулю (D=0)

        Как вы думаете, чему в этом случае будет равен корень из дискриминанта? Нулю, конечно же! А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:

        

        Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении. Поэтому в ответе не заморачиваются и пишут просто одинокий икс, безо всякой индексации х1,2 .

        Однако в более солидных темах (например, в решении неравенств методом интервалов) этот пунктик, с двумя одинаковыми (или, по-научному, кратными) корнями, настолько важен, что я буду про него напоминать снова и снова.

 

        3. Дискриминант отрицательный (D<0)

        Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. Ну и ладно. На нет, как говорится, и суда нет.

 

Как решать квадратные уравнения?

        Начнём с полных квадратных уравнений.

 

        Полные квадратные уравнения

        Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду:

        

        Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте – с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа – обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.

        Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)

        Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.

 

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.

 

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.

        Внимание! На данном этапе сразу же извлекаем корень из дискриминанта! Если красиво извлекается, конечно.)

 

        4. Подставляем все значения в общую формулу, считаем корни уравнения и записываем ответ.

 

        Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный. Ну что, тренируемся на кошках?

        Например, надо решить вот такое уравнение:

        7x2 x – 8 = 0

        Работаем прямо по пунктам.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Стало быть, уже готово к решению. Слева – полный набор членов, выстроенных по убыванию степеней, а справа – ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу.

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Вот и пишем:

        a = 7; b = -1; c = -8

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.

        Аккуратно подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных промахов:

        D = b2-4ac = (-1)2 – 4·7·(-8) = 1+224 = 225

        Извлекаем корень из дискриминанта:

        

       Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу – считаем наши корни.

        4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:

        

        И считаем:

        

        Вот и всё. Это ответ.)

        Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.

        В нашем случае можно было бы сразу записать:

        

        Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, можно где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно – ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте про корень.) Специально акцентирую внимание на этом моменте, потому что сам дискриминант народ обычно считает правильно, а вот корень извлечь частенько забывает… К тому же, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу – в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в задачах с параметрами. Такие задачи – высший пилотаж на ЕГЭ!

        Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.

        Например, дано нам такое уравнение:

        x2 + 1 = 4x

        Как обычно, работаем прямо по алгоритму.

1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:

        x2 – 4х + 1 = 0

2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

В нашем случае:

a = 1; b = -4; c = 1

3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.

        D = b2-4ac = (-4)2 – 4·1·1 = 12

        А вот и первый сюрприз.) Дискриминант не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:

        

        Что делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!

        Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:

        

4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Поехали:

        

        Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.

        Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми – либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам наивно полагая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) – скорее правило, чем исключение! И если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.

        Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они – точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать – сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)

        Как видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное – аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

        Вот краткий перечень глупых ошибок при решении квадратных уравнений:

        1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней.

 

        2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.

 

        3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не , как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а=1). Внимательнее надо быть, да.)

        Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений никто не отменял, да.)      

        Например, дано такое уравнение:

        

        Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева – квадратный трёхчлен, построенный по убыванию степеней, справа – ноль.

        Наши коэффициенты будут:

        a = -1/3; b = 3/2; c = -5

        Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты – дробные. Неудобно как-то…

        Согласен, неудобно! Всё-таки лучше, когда уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:

        

        А что будет справа? Справа будет ноль. Ноль на что ни умножай – всё равно ноль будет. Хорошее число.)

        Итого получим:

        -2х2 + 9х – 30 = 0

        И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и прочее. Минус перед иксом в квадрате – нехорош. Забыть его очень легко. Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:

        2 - 9х + 30 = 0

        Ну вот. А теперь – по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:

        a = 2; b = -9; c = 30

        Считаем дискриминант:

        D = b2-4ac = (-9)2 – 4·2·30 = 81-240 = -159

        Вот так штука! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ – решений нет.

        Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)

        Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)

 

        Неполные квадратные уравнения

        Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает – или bx или с. Или обоих членов сразу.

        Например:

        х2 – 3х = 0

        х2 – 16 = 0

        И так далее.)

        Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.

        Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободный член с вообще отсутствует! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)

        Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!

        И все дела.)

        Но неполные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…

        Например, такое уравнение:

        х2 – 3х = 0

        Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:

        х(х-3) = 0

        И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:

        х1 = 0

        х2 = 3

        И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!

        Теперь рассмотрим другое уравнение:

        х2 – 16 = 0

        А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:

        х2 = 16

        Остаётся корень извлечь из 16 и – ответ готов:

        

        Тоже два корня: х1 = -4;  х2 = 4.

        И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа – надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…

        Подытожим тему практическими советами.

        1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.

 

        2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.

 

        3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).

        Ну что, наш урок окончен. Теперь можно и порешать.)

       

        Решить уравнения:

        2x2 – 7x + 3 = 0

        х2x – 30 = 0

        х2 + 6х + 9 = 0

        х2 – 7x = 0

        х2 + 4x + 5 = 0

​        -2x2 + 98 = 0

        x2 + 0,05x – 0,05 = 0

        

       

        Ответы (в беспорядке):

        х1 = -5; x2 = 6

        x1 =-0,2; x2 = 0,5

        x1 = 0; x2 = 7

        x1 = -0,25; x2 = 0,2

        корней нет

        x1 = 0,5; x2 = 3

        x = -3

        x1 = -7; x2 = 7

        Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения – не ваша беда.) Все получились, а последние два – нет? Значит, проблема – в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте – и будет вам счастье!)

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать