ЗАДАТЬ ВОПРОС

Как решать линейные уравнения?

        Линейные уравнения – довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах – квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок – банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)

        Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

ax + b = 0,

       где a и b – любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные – всякие могут быть!

Например:

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

       В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b – любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

0 = 0

       Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

0 = 10.

       Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

       Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь – почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

ax + b = 0

       Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число – запросто!

Например:

       Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях – в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно - двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.

       А вот уравнение

       

       уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным – всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

        Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

        1) Набор элементарных действий и правил математики.

        Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

        2) Базовые тождественные преобразования уравнений.

        Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения – квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. – как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

        Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

        Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

        х – 2 = 4 – 5х

        Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

        Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

        х + 5х = 4 + 2

        Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа – тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа – считаем. Получаем:

        6х = 6

        Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка – мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование – делим обе части уравнения на 6. И – вуаля! Ответ готов.)

        х = 1

        Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

        Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом – нету! Так что – решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

        Что вначале делать будем? С иксами - влево, без иксов – вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

        Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования – с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика – дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число – не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

        Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

        Теперь раскрываем эти самые скобочки:

        Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

        

        

        А вот здесь – внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:

        6х – 3,

        то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…

        Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

        3(х-3) + 6х = 30 – 4х

        А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

        3х – 9 + 6х = 30 – 4х

        Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами – влево, без иксов – вправо. И применяем это преобразование:

        3х + 6х + 4х = 30 + 9

        Приводим подобные слева и считаем справа:

        13х = 39

        Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

        х = 3

        Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды – второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать – от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) – с домножения (или деления).

        Работаем от простого – к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

        Например, вот такое уравнение:

        Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема – с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один – правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

        А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

        Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

        После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

        Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

        Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.

        Итак, раскрываем:

        Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

        Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

        Вот и умножаем:

        Кому до сих пор непонятен этот шаг – значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы – в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

        Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно – меняются на противоположные:

         a(b+c) = ab+ac

         -a(b+c) = -ab-ac

         Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

        4(3-5х)-5(3х-2) = 20

        Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

        12 - 20х - 15х + 10 = 20

        Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов – вправо:

        -20х – 15х = 20 – 10 – 12

        -35х = -2

        Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

        x = 2/35

        На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

        Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они – фундамент всей остальной математики!

 

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

        Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

        Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

        7х + 3 = 4х + 5 + 3х - 2

        Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

        7х-4х-3х = 5-2-3

        Приводим подобные, считаем и получаем:

        0 = 0

        Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

        Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

        Решить уравнение – это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

        Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

        Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые!!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 – какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

        Вот вам и ответ:

        х – любое число.

        В научной записи это равенство пишется так:

        

        Читается эта запись так: «Икс – любое действительное число.»

        Или в другой форме, через промежутки:

        

        Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

        А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        7х + 2 = 4х + 5 + 3х – 2

        Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

        7х – 4х – 3х = 5 – 2 – 2

        0 = 1

        И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

        0 = 1…

        Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!

        А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)

        Вот и ответ: решений нет.

        В математической записи такой ответ оформляется вот так:

        

        Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

        Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

        Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

        И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания – нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках – запросто! Так что теперь – тренируемся и решаем:

        

        Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

        Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

        Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

        Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

        

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать