ЗАДАТЬ ВОПРОС

Решение показательных уравнений. База для уверенной работы.

        Итак, друзья, на прошлом уроке мы с вами познакомились (или научились – кому как) решать самые простые показательные уравнения.

По итогам прошлого урока, в вашей светлой голове должна была остаться общая ключевая информация, касаемо подхода к решению показательных уравнений. Что-то в виде практических советов, а что-то – в самых общих чертах, исходя из примеров, разобранных на уроке.  

        По пунктам:

        1. Первым делом всегда смотрим на основания. Если основания степеней разные, то прикидываем, нельзя ли как-то сделать их одинаковыми. В первую очередь, пытаемся это делать, активно используя действия со степенями и умение распознавать одно и то же число в разных степенях – целых, дробных и отрицательных.

 

        2. Стремимся привести показательное уравнение к каноническому виду, когда слева и справа стоит одно и то же число в каких угодно степенях. Для этого активно используем действия со степенями и базовые тождественные преобразования уравнений (перенос вправо-влево и умножение/деление).

 

        3. Степени популярных чисел надо уметь узнавать в лицо! Пробуем делать это.

 

        4. Действия со степенями надо знать и уметь применять. Причём в обоих направлениях (слева направо и справа налево)!

        В приведённых советах, если как следует вчитаться и присмотреться, можно заметить очень частое употребление слов: «пытаемся», «пробуем», «стремимся». Это ключевые слова не только в показательных уравнениях, а во всей математике вообще. Кто пытается, пробует, стремится, у того и получается. Возможно, не сразу, но рано или поздно – обязательно получается! И не только в математике, между прочим. У того же, кто не пробует – не получается ни-че-го! Ничего не поделать. Так уж устроена эта коварная жизнь. К сожалению. Или к счастью.)

        Ну что, продолжаем наращивать наш потенциал?

 

Уровень 3.  Раскладываем на множители!

        К сожалению, для успешного решения очень многих примеров, одних только примитивных действий со степенями и базовых тождественных преобразований уравнений недостаточно. Необходимо ещё грамотно уметь применять и весь остальной набор ваших знаний и умений из младших и средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, не так ли?

        Например, разложение на множители. Привет 7-му классу! Это, между прочим, один из самых популярных приёмов в решении очень многих видов уравнений, не только показательных!

        Например, вот такое уравнение:

        5x+2 – 5x+1 + 5x = 105

        Первый совет (выход на одинаковые основания) здесь не нужен: основания всех степеней уже одинаковые – пятёрка.

        Второй совет (приведение к каноническому виду) здесь тоже пока что не работает: из 105 пятёрку в «красивой» степени никак не сделаешь. Убирать пятёрки тоже не имеем права: во-первых, из-за мешающего нам числа 105, а во-вторых, слева нам необходима одинокая степень пятёрки. А у нас там этих пятёрок целая прорва… Причём сделать из этих трёх пятёрок одну также нельзя: нету в математике стандартных правил на сложение и вычитание степеней…

        Тупик? Вовсе нет!

        Для хоть какого-то продвижения вперёд вспоминаем базовое правило всей математики:

        Не знаешь, что нужно – делай, что можно!

        Вот и смотрим на наше злое уравнение. Причём не просто пучим глазки, думая о чём-то своём, далёком, а именно внимательно всматриваемся. Что в левой части можно сделать? Да там прямо-таки напрашивается вынесение общего множителя за скобки! Но… где же там общий множитель?! Не видите? Ну ладно. Сейчас покажу!

        Начнём с первого слагаемого – с выражения 5x+2. По правилам действий со степенями, это выражение мы имеем полное право переписать вот так:

        5x+2 = 5x·52

        Почему именно так? А как же! Ну ладно, давайте перемножим обратно. По правилу перемножения степеней с одинаковым основанием:

        5x·52 = 5x+2

        Вот и всё, никаких хитростей. Просто здесь, как раз, именно тот самый случай, когда правило действий со степенями

        am·an = am+n

        надо применять справа налево! А я предупреждал: действия со степенями надо уметь применять в обоих направлениях! Да, непривычно, я не спорю. Но ведь и мы тоже серьёзными темами с вами всё-таки занимаемся.) Привыкайте.)

        С выражением 5x+1 полная аналогия:

        5x+1 = 5x·51

        Вставляем теперь наши результаты в уравнение:

        5x·52 - 5x·51 + 5x = 105

        Ну как, осеняет? Да! Теперь уже редкий кадр не увидит, что выносить за скобки надо 5x. Вот и выносим:

        5x(52 - 51 + 1) = 105

        Что дальше можно сделать? Ну, очевидно, можно посчитать выражение в скобках:

        52 - 51 + 1 = 25-5+1 = 21

        Уравнение из злого постепенно превращается в белое и пушистое:

        21·5x = 105

        Вспоминаем теперь, что для ликвидации оснований нам необходима одинокая степень, безо всяких коэффициентов. А число 21 нам мешает. Не беда! Запускаем в ход второе базовое тождественное преобразование и делим обе части на 21. Элементарную математику пока что никто не отменял, да.)

        Получаем:

        5x = 5

        Вот всё и наладилось! Вот мы и вырулили на одинаковые основания слева и справа!

        5x = 51

        x = 1

        Это окончательный ответ.)

        "Многа букафф", да. Но зато понятно, надеюсь. Кстати, кто на «ты» со степенями, тот сразу вынесет 5x за скобки, не расписывая так подробно. Знания – они иногда помогают. Если они есть, конечно…

        Запоминаем: если в уравнении стоит сумма (разность) одного и того же числа в разных степенях, то пробуем применить разложение этой суммы (разности) на множители! А именно – вынесение общего множителя за скобки. Очень часто пример значительно упрощается, и дальнейшая дорога к ответу становится простой и понятной. Всё что можно посчитать в числах – считаем!

        В этом примере мы снова вырулили на одинаковые основания путём элементарных преобразований, сведя исходное уравнение к каноническому виду. А именно – с помощью разложения на множители. К сожалению, такой удачный исход при решении показательных уравнений возможен далеко не всегда. Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот полная их ликвидация – уже никак. Такое явление происходит в уравнениях другого типа. Освоим и его.

        Итак, знакомьтесь!

 

Уровень 4.  Делаем замену переменной!

        Для начала решим вот такое уравнение:

        9x - 4·3x + 3 = 0

        Сначала всё как обычно. Основания разные – девятка и тройка. Ничего, тройка в квадрате – это как раз и будет девятка. Так что выправление оснований никаких проблем не вызывает – приводим все степени с иксами к тройке:

        9x = (3x)2 = 32x

        Получаем вот такое уравнение:

        32x - 4·3x + 3 = 0

        А вот тут-то и застрянем. Старые советы здесь не помогут: как ни ухищряйся, как ни уединяй степени хоть слева, хоть справа, что ни выноси за скобку, канонический вид уравнения (слева и справа степень тройки) мы всё равно не получим. Кстати, кому интересно, можете попробовать: это полезно.)

        Так что же делать? Что-что… Придётся раскрывать вам новое секретное супероружие, предназначенное как раз именно для расправы с такого рода примерами. Да! Это замена переменной!

        Суть любой замены всегда проста до безобразия. Вместо одного сложного выражения мы пишем новую букву. Пусть t, например. Или y. Казалось бы, и какой в этом смысл? Ничего, сейчас интересно будет!

        В нашем примере прямо таки напрашивается заменить выражение 3x новой буковкой. Вот и попробуем. А там – видно будет.

        Итак, пусть

        3x = t

        Тогда, по правилам действий со степенями:

        32x = 3x·2 = (3x)2 = t2

        Ух ты! Кажется, я уже потихоньку догадываюсь, что получится… Ну-ка, ну-ка… Заменяем в уравнении все выражения с иксами на t:

        t2 – 4t + 3 = 0

        Ну и как вам? Квадратные уравнения ещё помните, я надеюсь?)

        Решаем через дискриминант (или по теореме Виета) и получаем два корня:

        t1 = 3

        t2 = 1

        А вот теперь, главное, не останавливаться, как это часто бывает. Это пока ещё не ответ: мы же икс с вами ищем! А буковка t – лишь вспомогательное средство.) Стало быть, возвращаемся к иксу, то есть делаем обратную замену.

        Начнём с t1:

        t1 = 3

        3x = 3

        x1 = 1

        Отлично. Один корень нашли. Теперь ищем второй, уже из t2:

        t2 = 1

        3x = 1

        О-па! Слева 3x, а справа 1… Какая-то нестыковочка… Как же нам из единички сделать справа тройку? Как-как… Да снова свойства степеней вспомнить!) А именно: единичка – это любое число в нулевой степени! Да-да! Совершенно любое (кроме нуля).) Какое хотим, такое и сделаем. Нам нужна тройка. Вот и пишем:

        1 = 30

        3x = 30

        x2 = 0

        Вот и всё. Получили два корня:

        x1 = 1

        x2 = 0

        Это окончательный ответ.

 

        Разберём теперь пример посложнее.

        2x+2 + 7·20,5x – 2 = 0

        Здесь тоже старые советы не действуют. Основания одинаковые, но никакими преобразованиями уединению слева и справа не поддаются: что-то обязательно будет мешаться – либо соседи, либо коэффициенты.... Ну что, попробуем замену? Вопрос – что и как заменять будем? А вот тут уже задачка…

        Для любой замены чётко уясним себе одну простую вещь: замена переменной оправдана тогда и только тогда, когда в примере в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом.

        У нас есть выражения 2x+2 и 20,5x. Первое выражение, по правилам действий со степенями, можно немного упростить и переписать вот так:

        2x+2 = 2x·22 = 4·2x

        Уже лучше. Остались лишь 2x и 20,5x. Уже почти похоже.) А вот теперь начинаем прикидывать и размышлять. Примерно так:

        «Если мы за t примем 2x, то что нам тогда нужно сделать с 2x, чтобы получить 20,5x? Очевидно, возвести в степень 0,5. То есть, 20,5x = t0,5 = t1/2.

        Или, по правилам действий с дробными показателями:

        Тогда после такой замены у нас получается иррациональное уравнение с корнями. Как-то оно не очень…

        Так, стоп! А что, если попробовать взять за t не 2x, а наоборот 20,5x? Тогда, для того чтобы из 20,5x сделать 2x, надо 20,5x… возвести в квадрат! Ух ты! Получится квадратное уравнение! Отлично!»

        Да! Именно так.) Вот такая нетривиальная замена. Сразу и не увидишь. Работает привычка. Ну и крепкая дружба со степенями, разумеется.

        Итак, пусть

        20,5x = t

        Тогда

        2x+2 = 2x·22 = 4·2x = 4·(20,5x)2 = 4t2

        Заменяем все конструкции с иксами на выражения с t и получаем:

        4t2 + 7t – 2 = 0

 

        Так и есть! Снова вышли на квадратное уравнение! Решаем его и получаем корни:

        t1 = -2

        t2 = 0,25

 

        А теперь возвращаемся к иксам, делаем обратную замену.

        t1 = -2

        20,5x = -2

        Хм… В какую же такую степень надо возвести двойку, чтобы получить минус два? А вы попробуйте, повозводите! Возьмите полный набор самых разнообразных иксов – целое, дробное, отрицательное, нулевое… Минус два вы всё равно никогда не получите. Но! Самые наблюдательные могут заметить, что, во что двойку ни возводи, всё время будет получаться строго положительное число! А вот этот факт уже очень важен!

        Итак, запоминаем:

        Положительное число в любой степени даёт также положительное число.

       

        Стало быть, нету таких иксов, которые нам минус два дадут. В таких случаях пишут:

        t1 = -2 – посторонний корень

 

        Но это пока ещё не всё: у нас же есть ещё t2!

        t2 = 0,25

        20,5x = 0,25

 

        А вот здесь всё нормально:

        20,5x = 25/100 = 1/4 = 2-2

        20,5x = 2-2

        0,5x = -2

        x = -4

        Вот теперь всё. Получили единственный корень x = -4.

       

        Разумеется, применять замену переменной возможно не только в показательных уравнениях, сводящихся к квадратным. В любых! Лишь бы было что и как заменять. Например, вот такое уравнение:

        3x + 7·31-x = 10

        Здесь та же история. Да, основания одинаковы, но сами степени никак не уединяются, выкидывать тройки - нельзя. Разложение на множители тоже не катит: за скобку ничего не выносится, да и десятка всё время мешаться будет… Остаётся замена. Но, ещё раз напоминаю, что замена оправдана только тогда, когда в уравнении в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом! Вот и пробуем сначала добраться до одинаковых выражений!

        Первым делом упрощаем выражение 31-x по правилам действий со степенями:

        31-x = 31·3-x = 3·3-x

        Тогда наше уравнение станет таким:

        3x + 7·3·3-x = 10

        Или, если ещё чуток упростить:

        3x + 21·3-x = 10

        Уже получше. В одном месте в уравнении сидит 3x, а в другом 3-x. Похоже, но всё-таки не одно и то же, да… Снова тупик? Да вовсе нет! Мы с вами знаем, что от минуса в степени математика, если надо, позволяет избавляться! Вот так:

        И теперь наше уравнение станет выглядеть вот так:

        Вот и всё! Теперь, кроме 3x, никаких других выражений с иксом в нашем примере больше нет. Делаем замену переменной:

        3x = t

        Тогда наше уравнение станет вот таким:

        Ну как? Узнали? Да! Это классическое дробно-рациональное уравнение. Куда более привычное, нежели исходное показательное, правда?

        А дальше действуем по всем правилам решения дробно-рациональных уравнений: умножаем обе части на t, приводим подобные, собираем всё слева и получаем:

        t2 – 10t + 21 = 0

        Решаем квадратное уравнение и получаем корни:

        t1 = 3

        t2 = 7

 

        А вот сейчас интересно будет! Возвращаемся к нашим иксам.

        Начинаем с t1:

        t1 = 3

        3x = 3

        x1 = 1

        Здесь ничего особенного… Хорошо, на очереди следующий клиент t2:

        t2 = 7

        3x = 7

        Опаньки! Из тройки семёрку через простую степень никак не сделаешь! Не родственники они… Как тут быть? Нет ответа?

        Спокойствие, как говорил Карлсон! Математика своих в беде никогда не бросает! Она нам на этот случай придумала логарифмы! Посему, если вы в теме, то хладнокровно игнорируем этот жуткий факт и с блеском в глазах записываем твёрдой рукой совершенно верный ответ:

        x2 = log37

 

        Вот и всё. Получили тоже два корня:

        x1 = 1

        x2 = log37

 

        Естественно, в заданиях на ЕГЭ из части 1, которые проверяет компьютер, такого экзотического ответа быть никак не может: там всегда конкретное число требуется. А вот в заданиях части 2, с развёрнутым решением, которые проверяются экспертами (т.е. людьми) – запросто! Так что будьте готовы и к таким сюрпризам. Чтобы не зависать, в случае чего.)

        Подытожим темку:

        Замена переменной, порой, существенно упрощает внешний вид примера! В этом и есть весь смысл замены. Очень часто с виду тупиковая ситуация с показательными выражениями после удачной замены превращается в простой и очевидный путь к правильному ответу. Характерные признаки применения замены переменной – присутствие (или получение) одного и того же выражения в разных местах примера.

 

Уровень 5.  Не самые простые примеры. И некоторые дополнительные фишки…

        Некоторые примеры не решаются стандартными методами – выравниванием оснований и уединением степеней, вынесением общего множителя за скобки, заменой переменной. Нет, ну не то что бы совсем-совсем не решаются… Это я зря математику обидел.) Но в таких примерах, как правило, дополнительно требуется смекалка и умение нестандартно мыслить. Хотя бы самую малость. Чтобы догадаться до какого-то нетривиального хода, который и спасёт положение.)

        Но основная проблема состоит в том, что умение нестандартно мыслить, в большинстве своём, не даётся от природы. Его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Как именно его надо развивать?

        Что ж, дам несколько самых общих правил.

        Правило №1 — Нужно интересоваться математикой!

        Да-да! А вы как думали? А иначе какой же смысл браться за сложные (и не только) примеры?

 

        Правило №2 — Нужно чётко понимать основные школьные понятия и термины математики.

        Конкретно по нашей теме:

        Что такое степень? Как возводить в степень? Какие бывают правила действий со степенями?

        Что такое отрицательные и дробные показатели и что с ними можно делать?

        Какие вам известны базовые тождественные преобразования уравнений?

        Что такое логарифм и зачем он нужен?

        Может ли положительное число при возведении в степень дать отрицательное число?

        И так далее. Вот берёте, задаёте сами себе определённый вопрос по той или иной теме (в нашем случае – степени и действия с ними) и пытаетесь своими словами, безо всяких заумных фраз, ответить на него. Как именно вы понимаете то или иное понятие, что это такое и как это употребить в дело.

        Прошу заметить, что «выучить» и «понимать» - вещи разные. Выучить, скажем, определение логарифма и понять смысл этого самого логарифма – две большие разницы! В первом случае вы зависните на любом нестандартном, хотя и элементарном вопросе на эту тему, а во втором – скорее всего, даже не заметите проблем.

 

        Правило №3 — Нужно знать основные формулы школьного курса математики.

        Но одного только знания формул мало. Нужно ещё уметь узнавать формулы, узнавать видоизменённые формулы, уметь применять формулы слева-направо и справа-налево. Это всё очевидно, но… сами понимаете.)

 

        Правило №4 – Нужно не бояться.

        А именно – не бояться браться за сложные примеры! Пробовать, пытаться шаг за шагом упростить пример и, возможно, найти решение. Один способ, другой, третий... Что-то подходит, а что-то нет. Это совершенно нормально.

 

        Правило №5 – Нужно думать...

        А вот с думаньем дело обстоит хуже всего, да… Нет, думается что-то, конечно. Иногда озаряет даже. Как молния.)

        К сожалению, как правильно думать, в книжках и в интернете не написано. Это как-то само собой образуется. С богатым опытом. Но некоторые примеры правильных мыслей и рассуждений я не зря выделяю синим цветом! Обращайте на них внимание!

        Итак, обо всём об этом – на этом уровне!

 

        А теперь разбираем примеры. Начнём с довольно безобидного. Решаемого в уме, между прочим.) Если понимать смысл. Допустим, перед нами вот такое уравнение:

        20,17x + 30,3x+1 + 50,23x+2 = -5

        И что тут можно сделать? Похоже, что... ничего.) Совершенно немыслимый набор степеней. Основания разные, друг в друга через степень не превращаются. Показатели – вообще ахтунг!

        Кстати, это и есть подсказка. Значит, где-то спрятан какой-то нестандартный обходной путь, который спасёт положение. И путь этот, скорее всего, до ужаса элементарный…

        Что ж, вскрою этот тайный ход. Обращаемся к Правилу №2 и вспоминаем наши самые общие сведения о степенях. А чуть конкретнее – пример, где я предлагал вам повозводить двойку в самые разнообразные степени. Забыли? Зря. Из того примера у вас должно было остаться важное знание. А именно – положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Конкретно в нашем примере:

        20,17x >0

        30,3x+1 >0

        50,23x+2 >0

        А теперь осмысливаем: может ли сумма положительных чисел дать нам в результате минус пять? Конечно же, нет! Ни при каком иксе такое равенство не получится.

        Ответ: корней нет.

        Возможно, кто-то подумает, что этот пример я дал чисто для прикола. Нет! В серьёзных заданиях (скажем, в задачах части 2 из ЕГЭ) необходимо уметь выкидывать целые куски примера из детального рассмотрения. Чтобы не зависать и не тратить время зря на поиск очевидного ответа.

        А вот следующий пример уже так просто не спишешь, да…

        Решить уравнение:

        6x – 9·2x - 8·3x + 72 = 0

        Начинаем размышлять:

        «Хм… И что тут можно сделать? Основания – разные, к одному и тому же числу никак не сводятся. За скобку ничего не вынесешь. И замена тоже не проходит. Пример явно не простейший…

        Но… Вообще говоря, чем больше одинаковых выражений в примере и меньше разных, тем лучше! Поэтому, первым делом, преобразую-ка я выражение 6x. Разложу шестёрку как 2·3, связав 6x с уже имеющимися в примере выражениями 2x и 3x:

        6x = (2·3)x = 2x·3x»

        Вот вам наглядный пример того, как нужно правильно думать. Да! Разложим 6x на отдельные степени двойки и тройки. Ну ведь явно ни к чему здесь шестёрка! Что получим:

        2x·3x – 9·2x - 8·3x + 72 = 0

        Продолжаем размышления:

        «И дальше что? В уравнении есть 2x и есть 3x. Из двойки тройку через простую степень не сделаешь, это понятно. Стало быть, можно даже не пытаться как-то выровнять основания. Хорошо было бы как-то разделить разные виды показательных выражений. Но как этого можно добиться? Только одним путём - попробовать разложить левую часть на множители! Тем более, что справа в уравнении стоит ноль! Это явный намёк…

        За скобку тут ничего не вынесешь, так как общего множителя, сидящего во всех слагаемых, здесь нет. Но! У нас же есть ещё один оч-чень мощный способ разложения подобных выражений! Группировка называется.) А не попробовать ли сгруппировать слагаемые таким образом, чтобы всё получилось? Ну-ка, посмотрим…»

        Да! Именно так. Только группировка в этом злом примере даёт нам шанс растащить разные типы показательных выражений (2x и 3x). Так что пробуем и группируем. Других вариантов как-то выкрутиться просто нет. Заключаем в скобочки выражения, в которых точно есть общий множитель, есть что вынести.

        Хотя бы вот так:

        (2x·3x – 9·2x) – (8·3x – 72) = 0

        Теперь видно, что в первых скобках можно вынести 2x, а во вторых – восьмёрку. Выносим:

        2x(3x – 9) – 8(3x – 9) = 0

        Вот и отлично. В скобках остались совершенно одинаковые выражения! И теперь эти скобочки сами стали общим множителем. Можно и их вынести:

        (3x – 9)(2x – 8) = 0

        Всё! Слева – произведение скобок, справа – ноль. А дальше уже всё ясно: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

        Обратите внимание, как красиво разделились разные типы показательных выражений! Разошлись по своим скобочкам. И теперь каждую из них стало возможно рассматривать независимо друг от друга!

        Приравниваем к нулю первую скобочку:

        3x – 9 = 0

        3x = 9

        3x = 32

        x1 = 2

 

        Со второй аналогично:

        2x – 8 = 0

        2x = 8

        2x = 23

        x2 = 3

        Вот всё и получилось. Два корня.

 

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется разложение на множители способом группировки. Основная цель – разделить разные типы показательных выражений.

        А вот в следующих двух примерах уже и группировка не спасёт…

        Для начала вот такой:

        5·3x - 7·2x = 0

        Казалось бы, коротенькое и простенькое уравнение. Но… За что зацепиться? Совершенно безумный набор чисел, ни одно из них друг в друга не превращается. Специально, поди.) Ни разложение на множители не катит, ни замена…

        Спокойствие! На подобного рода примеры тоже есть своё секретное оружие. Называется – почленное деление на показательное выражение. Характерный признак применения такой процедуры – разные основания, но одинаковые показатели. Ибо по нашим незабвенным свойствам степеней мы знаем, что

        А теперь смотрим на уравнение. У нас есть тройка в степени икс и двойка также в степени икс. И, глядя на уравнение, прямо-таки напрашивается вместо двух разных степеней сделать одну. А что, если поделить обе части уравнения на какое-то из показательных выражений? Например, на 2x?

        Что ж, посмотрим. Делим:

        Вот и первый хитрый вопрос: почему я так смело делю всё уравнение на 2x? Ведь в теме про уравнения открытым текстом сказано, что делить мы имеем право только на отличное от нуля число! А тут в показателе икс есть! Кто ж его знает, какое он там число даст… Подумайте пока, ответ будет чуть ниже, после расправы над этим злым уравнением.

        А мы продолжаем. Вспоминаем действия со степенями, сокращаем что сокращается и получаем:

        Цель деления достигнута: вместо двух различных значков 3x и 2x стал один значок (3/2)x. Уже гораздо проще, правда?)

        А дальше дело техники. Уединяем степень слева: переносим семёрку вправо и делим на пятёрку. Получаем:

        Можно, для краткости, (но не обязательно) перевести дроби в десятичные:

        1,5x = 1,4

        Всё. Получено простейшее показательное уравнение. Слева – чистая степень, а справа – число. Правда, сами числа какие-то корявые... Выравнивание не катит… Ну и ладно, ничего страшного. Логарифмы — они выручают всегда!

        Так прямо и пишем:

        x = log1,51,4

 

        Вот и всё. Да, такой вот хитрый ответ у примера, через логарифм! Так и уравнение у нас тоже не подарок, прямо скажем. Мы ведь уже на пятом уровне с вами, не так ли? И, кстати сказать, даже по внешнему виду уравнения сразу было понятно, что ответ красивым целым числом не получится.

        Возможно, кто-то спросит: «А что, если поделить это же уравнение не на 2x, а на 3x? Это как-то повлияет на ответ?» А вы не поленитесь и попробуйте! И сравните. Будет интересно.)

        А теперь обещанный ответ на хитрый вопрос, почему же мы можем смело делить всё уравнение на показательное выражение с иксом типа 2x, 32x и т.п. Ведь, казалось бы, в показателе сидит икс! А делить на выражение с иксом мы имеем право лишь тогда это выражение отлично от нуля! А откуда мы знаем, какое там число получится – ноль, не ноль…

        Любое число может получиться! Почти… Но не ноль! Ещё раз (уже третий по счёту!) напоминаю, что положительное число в любой степени (в том числе и с иксом!) даёт число положительное! Никогда не получится ни отрицательное число, ни ноль! Именно поэтому такое деление в показательных уравнениях применяется весьма и весьма часто. И, как видите, порой только оно и спасает.

        Ну и на десерт рассмотрим ещё одно уравнение на деление. С одной стороны оно посложнее (ибо решается дольше), а с другой - попроще (ибо безо всяких логарифмов, все числа – красивые).

        Вот оно:

        5·32x + 3·52x = 8·15x

        С чего начинать? Ну, пока сделаем очевидное преобразование – распишем 15x как произведение 3x·5x. Всё-таки два основания в примере получше, чем три, правда?

        Получим:

        5·32x + 3·52x = 8·3x·5x

        Ну вот, уже гораздо приятнее. В основаниях остались только тройки и пятёрки. Но… Что же дальше? Основания разные, к одному через степень не приводятся. Замена не годится: нету пока что одинаковых выражений с иксами. Вынесение общего множителя за скобки и группировка – тоже не канают: ни выносить нечего, ни группировать… Так, стоп! А что, если поделить обе части уравнения на… да хоть на что-нибудь! Например, на 52x.

        Что получим:

        И чем же нам помогло такое, казалось бы, бессмысленное действие? Терпение! Сейчас всё будет! Работаем дальше. Упрощаем каждое слагаемое по правилам действий со степенями, сокращаем то, что сокращается и получаем:

        Ну и как? Осенило? Да! Теперь уже очевидно, что можно сделать замену (3/5)x = t. Получится квадратное уравнение. Кажется, жизнь налаживается!

        5t2 + 3 = 8t

        5t2 – 8t + 3 = 0

        Решаем и получаем корни:

        t1 = 1

        t2 = 3/5

        Возвращаемся к иксам. Для t1 = 1 получим:

        Для t2 = 3/5 получим:

        Видите! Всего одно бесполезное, казалось бы, действие (деление на 52x) – а эффект колоссальный! Сразу же всё высвечивается – что преобразовать, что сократить, что заменить…

 

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется почленное деление на показательное выражение. Основная цель – сделать как можно больше одинаковых выражений в примере.

 

        А теперь второй хитрый вопрос.) Мы с вами решаем самые разные показательные уравнения. Простые и не очень. Почему я ни разу не сказал здесь про ОДЗ? В уравнениях это весьма и весьма важная штука, между прочим!

        Да, важная, безусловно. Но фишка в том, что показательные выражения типа 2x, 32x и тому подобные, имеют смысл при любом икс! Нету никаких ограничений на показатель степени. Любым может быть показатель. Вот обычно и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях.

        Но я всё-таки вспомнил. И не зря. Привыкают люди к типовым примерам (когда в показателях стоят простые выражения типа x, 2x+1 и т.п.), вот и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях. Вообще! Даже и в таких показательных уравнениях не вспоминают:

        А вот здесь уже есть ограничение! В показателе слева икс не может равняться тройке! На ноль делить нельзя. В том числе и в показателе, да.) И, если по привычке проигнорировать это ограничение, то, чего доброго, можно и ответ неверный получить.

        Так что привычка привычкой, но внимание – превыше всего.

 

        Ну что! Поздравляю! Мы с вами успешно поработали с показательными уравнениями на всех уровнях! И теперь – финальный аккорд. Обещанная домашка. Да-да, решать так решать! Вам же экзамен сдавать, а не мне.) Так что меняем мышку на ручку и - тренируемся.)

        Уравнения даю вразброс, никак не сортируя их ни по типам, ни по способам решения. Ибо так интереснее.)

        Рецепт здесь один: внимательно осматриваем уравнение и сами лично выбираем способ решения. Если сразу не осеняет, то поочерёдно пробуем  все известные вам приёмы, о которых я рассказал на прошедших уроках. Что-то сработает, что-то – нет. Это не страшно. Пробуем дальше. Что-то обязательно сработает!

 

        Решить уравнения:

        

        Да-да, прошу не удивляться последнему уравнению! Это уравнение смешанного типа: иксы стоят и в показателях, и просто так. Такие уравнения мы с вами не рассматривали, да.) Но материала этого урока вполне достаточно для успешной расправы с этим монстром. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка)!

 

        Ответы (в беспорядке):

        x = -2

        x1 = -1    x2 = log25

        x = 2

        x = 5

        x1 = 0     x2 = 0,5

        x = 1

        x1 = -0,5   x2 = 0,5

        x1 = -3    x2 = 0

        решений нет

        

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать