Графические способы решения задач с параметрами. Формула расстояния между двумя точками на плоскости.
В данном материале будет рассмотрен один из очень красивых геометрических методов решения задач с параметрами — метод расстояний. А именно — применение формулы расстояния между двумя точками прямоугольной декартовой системы координат OXY.
Выводится она довольно просто.
Пусть на плоскости OXY заданы две точки А(x1; y1) и B(x2; y2) (см. рисунок). И наша задача - определить расстояние между этими точками. Или длину отрезка АВ.
Как видно из рисунка, отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС с катетами АС и ВС. Их длины равны разности абсцисс и ординат концов А и В отрезка АВ:
Модули ставятся для того, чтобы было неважно, как именно ориентирован наш отрезок и какая из координат больше — первая или вторая: модуль просто отсекает возможный минус, если, вдруг, скажем, х2 окажется меньше, чем х1. Ведь длина отрезка, очевидно, величина неотрицательная.
Теперь, призвав на помощь тяжёлую артиллерию великую и могучую теорему Пифагора, получим наше искомое расстояние:
.
Поскольку как квадрат, так и модуль обладают одним весьма удобным и замечательным свойством — чётностью, то модули под корнем можно совершенно спокойно и без последствий заменить на обычные скобки. :)
Итого:
Вот такая полезная формула. Что ж, на этом краткая теоретическая часть закончена. Пора теперь посмотреть, как именно эта формула работает на примере некоторых задач с параметрами из профильного ЕГЭ по математике.
Пример 1
Иными словами, от нас требуется найти такие а, при которых система имеет решение в принципе. Хотя бы одно. Ни сами решения, ни их количество находить при этом не нужно.
Проанализируем наши уравнения.
Первое уравнение представляет собой сумму квадратных корней из выражений с двумя переменными. Обычно, как только ученик видит уравнение с квадратными корнями, первое что приходит в голову, — срочно возвести обе части в квадрат!) Однако, традиционный «лобовой» способ решения путём возведения в квадрат обеих частей уравнения здесь вряд ли приведёт к чему-либо хорошему. А вы возведите! После первого возведения — да, квадраты обоих корней дадут просто подкоренные выражения, но… согласно бескомпромиссной формуле квадрата суммы (a+b)2=a2+2ab+b2, выплывет удвоенное произведение слагаемых, где корни сохранятся! Что потребует возводить в квадрат повторно… И в результате полной ликвидации корней у вас получится уравнение аж четвёртой степени, да ещё и с иксом и игреком… Короче, ужас!
Нет, надо идти каким-то обходным путём. Каким же?
В данном примере как раз таки здорово выручает формула расстояния между двумя точками на плоскости. Давайте присмотримся к первому уравнению системы:
.
Каждый из корней, фигурирующих в уравнении, очень похож на формулу расстояния между некими точками. Это намёк.) Займёмся расшифровкой каждого корня.
Сопоставим первый корень с выведенной только что формулой расстояния:
.
Просто присматриваемся к этим двум корням и сравниваем. Похожи ведь, правда? Тогда, согласно нашей формуле расстояния, можно принять:
x1 = 4;
x2 = x;
y1 = a;
y2 = y.
Значит, первый корень — это на самом деле расстояние от точки (4; a) до точки (x; y).
Аналогично сопоставив с формулой второй корень, увидим, что он тоже представляет собой расстояние от точки (7; a) опять же до точки (x; y).
А теперь переведём первое уравнение с алгебраического языка (языка формул) на геометрический (язык расстояний).
Алгебра:
Геометрия:
Сумма расстояний от точки (x; y) до точек (4; a) и (7; a) равна трём.
Для наглядности нарисуем картинку, чтобы представлять, а чего, собственно, от нас хотят.)
Значит, согласно рисунку, с геометрической точки зрения первое уравнение системы выглядит так:
AC + BC = 3,
где точки А и В зафиксированы (для конкретного значения параметра), а третья точка С как-то «гуляет» по координатной плоскости.
Вообще говоря, множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек постоянна и равна некому положительному числу, представляет собой замкнутую кривую, которая называется красивым словом эллипс, а данные фиксированные точки являются фокусами эллипса. Но проблема состоит в том, что понятие эллипса не входит в школьную программу (зачастую даже физико-математических классов), а изучается уже в ВУЗе в курсе аналитической геометрии.) Так как же обойти это незнакомое (пока) понятие? Может, в данной (и подобных этой) задаче всё гораздо проще?
Вынужден признаться. Да, всё гораздо проще!
Дело всё в том, что понятие эллипса справедливо только в том случае, если эта самая сумма расстояний будет больше расстояния между самими фиксированными точками. Если же сумма расстояний от точки С(x; y) до двух фиксированных точек (в данном случае A и B) точно равна расстоянию AB между ними, то точка С(x; y) обязательно будет лежать на отрезке AB, и никакого эллипса уже не будет, а будет просто отрезок AB с «гуляющей» по нему третьей точкой.
Давайте посмотрим, чему же равно расстояние между нашими фиксированными точками:
.
Итак, длина отрезка АВ в точности получилась равной трём, как и правая часть уравнения. Это не случайно!) Что это означает? Это означает то, что наша точка С(x; y) обязательно лежит на отрезке AB и как-то по нему гуляет.) И только на отрезке! Ведь в противном случае, если бы точка С лежала где-то за его пределами (скажем, где-то выше или где-то ниже), то сумма расстояний от неё до концов отрезка АВ была бы строго больше тройки, что противоречило бы первому уравнению.
Что ещё важного можно заметить в данном уравнении и на рисунке? А то, что при любом значении параметра «а» игрековые координаты А и В концов нашего отрезка совпадают (обе равны а). Это означает, что в любом случае наш отрезок АВ будет строго горизонтален (то бишь, параллелен оси ОХ), а его концы, в зависимости от значения параметра, будут как бы скользить вдоль направляющих прямых x=4 и x=7 (поскольку абсциссы его концов никак не зависят от «а», оставаясь всё время равными 4 и 7).
Итак, первое уравнение разложили по полочкам, переходим ко второму.
Вот тут возведение обеих частей в квадрат вполне прокатит. Возводим:
Ну как, знакомо? Да, это классическое уравнение окружности с центром в точке (3;2) и радиусом 5.
Кстати сказать, а как понять, что второе уравнение задаёт именно окружность не через возведение в квадрат, а через расстояние между точками? Снова переводим второе уравнение с алгебры на геометрию, используя нашу формулу расстояния.
Алгебра:
Геометрия:
Расстояние от точки (x;y) до точки (3;2) равно пяти.
А что же это за множество точек, находящихся от фиксированной точки (3;2) на расстоянии 5? Ну, конечно! Окружность радиуса 5 с центром в данной точке. :)
Что ж, у нас уже имеется всё необходимое, чтобы нарисовать общий чертёж к задаче. Поехали!
1) Итак, сначала, как водится, чертим координатные оси X и Y.
2) Проводим пунктиром вспомогательные вертикальные прямые x=4 и x=7. Вдоль этих прямых, в зависимости от параметра «а», будет скользить наш отрезок АВ, всё время оставаясь горизонтальным. Как вагонная ось катится по рельсам.))
3) Отмечаем точку (3; 2) — центр нашей окружности.
4) Собственно, рисуем саму окружность с центром в данной точке и радиусом — пятёрка.
5) Готово! Что в конечном итоге получилось — смотрим рисунок ниже.
А теперь пора рассуждать и включать воображение.) В задаче от нас требуется, чтобы система имела хотя бы одно решение. Что это означает с точки зрения нашего рисунка? А то, что наши отрезок (первое уравнение) и окружность (второе уравнение) должны иметь хотя бы одну общую точку. Когда такое возможно?
Пусть при каком-то конкретном сильно отрицательном (например, -6) значении параметра а наш отрезок АВ (синего цвета) лежит где-то внизу и пока что вообще не пересекает окружность. Теперь мысленно начинаем двигать отрезок вверх по нашим «рельсам».)
Имеем четыре граничные ситуации.
Первое граничное положение отрезка, которое нас устроит, — когда его левый конец совпадёт с точкой М окружности (а = а1). И пересечение отрезка с окружностью будет до того момента, пока его правый конец не совпадёт с точкой N (а = а2). То есть, хотя бы одно (и единственное!) решение системы будет при таких а, когда отрезок пересекается с дугой MN окружности (показана зелёным цветом).
Двигаем отрезок вверх дальше. При a > a2 отрезок оказывается целиком внутри окружности и, следовательно, решений у нашей системы снова нет. И следующие два граничных положения — момент, когда правый конец попадает в точку L (a = a3) и момент, когда левый конец попадает в точку K (a = a4). И пересечение будет тогда, когда отрезок находится между этими крайними положениями, пересекая уже верхнюю дугу KL. Все граничные положения отрезка показаны красным цветом. При дальнейшем движении отрезка вверх (то есть росте параметра «а») пересечений (а, следовательно, и решений системы) больше не будет.
Итак, можно даже составить заготовку для будущего ответа:
.
Причём граничные значения параметра а нас тоже устраивают, посему все скобки квадратные.
Что ж, остаются сущие пустяки — определить эти самые граничные значения параметра.)
Начнём с левого конца отрезка. То есть, точки А(4; a). Подставим координаты точки А в уравнение окружности (ведь мы же как раз отлавливаем пересечение отрезка с окружностью!):
Получили два значения параметра. Очевидно, знак минус соответствует крайнему нижнему положению отрезка при a = a1, а знак плюс — крайнему верхнему при а = а4. Таким образом,
Аналогично расправляемся и с правым концом — с точкой B(7; a):
То есть,
Итак, а2 = -1; a3 = 5.
Всё! Все интересующие нас значения параметра найдены, и теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.)
Ответ:
.
В рассмотренном примере формула расстояния между точками была подана на блюдечке прослеживалась довольно явно. А вот следующий пример будет гораздо сложнее. Там, во-первых, в нагрузку добавятся модули, а во-вторых, потребуются дополнительные преобразования. Но ничего, мы тоже его распутаем.)
Итак, приступим!
Пример 2
Во, накрутили… Сумма корней, под корнями модули… Кошмар!
Как здесь можно узнать формулу расстояния между точками? Ясно, что надо как-то преобразовывать и приводить к красивому виду первое уравнение.
Посмотрим, что получается под первым корнем. Раскроем скобки:
Здесь мы воспользовались тем фактом, что и квадрат и модуль — функции чётные, а значит, x2 и |x|2 - одно и то же, поэтому без ущерба для здоровья мы заменили выражение x2 на |x|2, что позволило свернуть выражение с иксом по формуле квадрата суммы.
А вот второй корень сразу так красиво преобразовать не выйдет: ведь там у нас совсем нет икса в квадрате, а вместо этого затесался параметр а, да ещё и игрек в первой степени. Чтобы избавиться от а и y, воспользуемся вторым уравнением и подставим в первое уравнение вместо y выражение x2+a:
Вот так. И теперь первое уравнение системы стало выглядеть гораздо симпатичнее:
Уже потихоньку вырисовывается нечто знакомое, правда? Что делать дальше? Ясно, что надо раскрывать модули. Лучше, когда их нет.) Давайте начнём с первого корня, то есть с икса.
Если x≥0, то модуль раскрывается с плюсом (|x| = x), и тогда
Таким образом, если x≥0, то первый корень представляет собой расстояние между точками (x; y) и (3; 0). С какой такой стати? Элементарно!
Ведь можно же записать данное выражение вот так:
Аналогично, если x<0, то наш модуль раскрывается с минусом (|x| = -x), и тогда
Точно так же, раскрывая модуль игрека во втором радикале, получим:
Значит, первое уравнение нашей системы разбивается на четыре случая раскрытия модулей:
Каждое из полученных четырёх уравнений выражает сумму расстояний от неких двух фиксированных точек плоскости ОXY до точки (x; y), «гуляющей» где-то по плоскости. И эта сумма расстояний у нас постоянна и равна пяти.
Здесь опять таки не будем выпендриваться и сделаем вид, что понятия не имеем про эллипс, а вместо этого снова посчитаем расстояния между точками.)
Для этого изобразим все наши точки на координатой плоскости и соединим их отрезками. Это будут точки A(0; 4), B(3; 0), C(0; -4) и D(-3; 0). Вот наша картинка:
Теперь подробно рассмотрим, к примеру, первый случай:
Он представляет собой сумму расстояний от точки (x; y) до точек A и B.
Вычислим длину отрезка АВ из треугольника AOB:
Получили в точности пятёрку. То есть, длину отрезка AB! Что это означает? Это означает, что наша точка с координатами (x; y) обязательно лежит на отрезке АВ и как-то по нему гуляет! Таким же образом доказывается, что и в остальных трёх случаях точка (x; y) лежит на соответствующем отрезке. Итак, множество точек, описывающих первое уравнение системы, — ромб ABCD со стороной 5. Каждая сторона ромба отвечает за свой случай раскрытия модулей.
А вот второе уравнение нашей системы — обычная парабола y = x2 с вершиной в точке (0; a), гуляющая вверх-вниз вдоль оси игреков в зависимости от параметра. Вот наша картинка:
А теперь (внимание!) начинаем двигать нашу параболу снизу вверх вдоль оси OY, меняя тем самым параметр а!
Тогда видно, что, если вершина находится где-то совсем низко, то пересечений у параболы и ромба вообще не будет. Первый граничный случай соответствует a = -9, когда ветви параболы проходят через точки B и D ромба (показан чёрным цветом). В этом случае решений будет два. Как только вершина параболы сместится чуть выше -9, то каждая её ветвь пересечёт по две стороны ромба, и решений станет уже четыре — как раз то что нам и нужно. И так будет продолжаться до тех пор, пока вершина параболы не окажется в точке С (синий цвет), то есть, а = -4, когда решений станет пять.
Таким образом, первая часть ответа будет такая:
.
Сами границы нас не устраивают и в ответ, естественно, не включаются.
Но… Это ещё не всё!) Продолжим дальше двигать вверх по оси ОY нашу параболу. Когда вершина окажется чуть выше точки С, то пересечений станет уже шесть: по два с нижними сторонами ромба и по одному с верхними. И так будет до тех пор, пока ветви параболы не станут касаться сторон CD и CB ромба (красный цвет). В случае касания решений снова станет четыре, что от нас и требуется. И это значение параметра а, при котором парабола касается нижних сторон ромба, теперь нам и предстоит «отловить».)
На помощь придёт такой мощный инструмент, как производная. В силу симметрии картинки, рассматривать будем только правую ветвь параболы. Итак, пусть наша красная парабола касается нижнего отрезка ромба СВ в какой-то точке М.
Уравнение прямой, задающей отрезок СВ, будет
поскольку тангенс угла наклона прямой CB к оси ОХ равен:
Уравнение нашей параболы будет y = x2 + a. Мы не знаем пока, чему равно «а», но зато твёрдо знаем, что отрезок CB её касается, а значит, производная нашей параболы в точке касания M должна быть равна 4/3.
Вычислим эту самую производную:
(x2+a)’ = (x2)’ + a’ = 2x
Тогда 2x = 4/3 и тогда x = 2/3 - абсцисса точки касания M.
Поскольку точка M лежит на отрезке CB, то её координаты обязательно удовлетворяют уравнению этого отрезка:
Значит, координаты нашей точки касания следующие:
Но! Точка M принадлежит не только отрезку, но ещё и параболе! Поэтому, подставив координаты точки M в уравнение параболы, мы теперь уже без труда найдём интересующее нас значение а:
Вот теперь всё. Все характерные положения параболы представлены на картинке.
Легко видеть, что при дальнейшем росте параметра а четырёх решений уже не будет, а будет либо два, либо одно, либо ни одного.
Кстати сказать, а можно ли в данной ситуации обойтись без производной? Уж больно напряжно с ней возиться, как правило…
Что ж, специально для разумных халявщиков предлагаю способ-лайт.) Но, следует предупредить, что он срабатывает только в случае каких-нибудь простеньких графиков — в основном для параболы. В случае более сложных функций способ с производной — самый надёжный.)
Итак, нам требуется отыскать значение параметра, при котором происходит касание прямой
и параболы
.
Что означает сей факт с алгебраической точки зрения? Только то, что уравнение
имеет строго один корень! То есть, дискриминант получившегося квадратного уравнения обязан быть равен нулю!
Что ж, остаётся только привести наше уравнение к стандартному виду, посчитать дискриминант да приравнять его к нулю.) Действуем:
Как и следовало ожидать, результат получился тем же самым.)
Ответ:
Заключение: если в примере предложено какое-то зверское на вид уравнение или неравенство с корнями, но подкоренные выражения представляют собой какие-то квадратичные конструкции от x и y вида
то ни в коем случае не возводим обе части в квадрат с целью избавиться от корней и не тратим своё время! Вместо этого пробуем выделить полные квадраты под корнями по каждой из переменных.
Очень часто в таких конструкциях срабатывает именно формула расстояния между двумя точками, что значительно упрощает дальнейшее решение примера и тем самым открывает дорогу к успеху.
Заметим, что данный приём работает только тогда, когда наше подкоренное выражение именно такого вида — то есть, переменные под корнем стоят в квадрате и в первой степени (а не в кубе или более высоких степенях) и именно сами по себе, без попарных произведений xy . Если данное требование не выполняется, и под корнем затесалось, скажем, ещё и произведение xy, то либо его надо на что-то заменять (скажем, если оно выражается из второго уравнения), либо данный пример решается как-то по-другому.
Успехов!