Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.
Обычно квадратные уравнения — одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)
Начнём с названия.
Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово "квадратное". Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. Также в уравнении могут быть (или не быть — как уж повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). Но это ещё не всё. При этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.
В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:
Здесь a, b, c — какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а — любым числом, кроме нуля. Почему — объясню чуть ниже.
Например:
Здесь a=1; b=4; c=-5
Или такое:
Здесь a=-2; b=-5; c=3
Или:
Здесь a=0,5; b=-2; c=2
И так далее…
В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются - полными.
А ещё бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас исчезнет икс в первой степени.
Получится, к примеру, что-то типа:
x2–9 = 0
x2+25 = 0
И так далее…
А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:
x2-4x = 0
-x2+10x = 0
И т.д. и т.п.
А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:
0,1x2 = 0
-3x2 = 0
Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите) неполными.)
Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов — полные и неполные.
А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. А давайте подумаем, что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…
Общая формула корней квадратного уравнения.
Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Всего одной!
И теперь у меня для вас есть две новости — хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…
Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура — очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)
Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще! Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)
"Формула! Где формула?! Ты достал формулу?" - слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…
Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)
Вот такая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…
Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Аккуратно подставляем все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.
Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.
Выражение b2-4ac, стоящее в формуле под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников. Слова "решаем через дискриминант" звучат обнадёживающе и вселяют оптимизм!)
Обычно дискриминант обозначается буковкой D:
Тогда, с учётом данного обозначения, общая формула корней станет выглядеть вот так:
Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём его смысл? Почему для, скажем, -b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы — они и в Африке буквы… А тут — такое красивое слово! Дискриминант…
А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения по общей формуле возможны всего три ситуации.
1. Дискриминант положительный (D>0).
Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво — вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.
Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет два различных корня.
Вот они:
Два — потому, что общая формула в этой ситуации разбивается на два отдельных случая. А именно — какой знак, плюс или минус, берётся перед радикалом. Каждый случай даёт свой корень.
2. Дискриминант равен нулю (D=0)
Как вы думаете, чему в этом случае будет равен корень из дискриминанта? Нулю, конечно же! А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:
Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении. Поэтому в ответе не заморачиваются и пишут просто одинокий икс, безо всякой индексации х1,2 .
Однако в более солидных темах (например, в решении неравенств методом интервалов) этот пунктик, с двумя одинаковыми (или, по-научному, кратными) корнями, настолько важен, что я буду про него напоминать снова и снова.
3. Дискриминант отрицательный (D<0)
Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. Ну и ладно. На нет, как говорится, и суда нет.
Как решать квадратные уравнения?
Начнём с полных квадратных уравнений.
Полные квадратные уравнения
Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.
1. Приводим уравнение к стандартному виду:
Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте — с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа — обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.
Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)
Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
Внимание! На данном этапе сразу же извлекаем корень из дискриминанта! Если красиво извлекается, конечно.)
4. Подставляем все значения в общую формулу, считаем корни уравнения и записываем ответ.
Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный. Ну что, тренируемся на кошках?
Например, надо решить вот такое уравнение:
7x2 – x — 8 = 0
Работаем прямо по пунктам.
1. Приводим уравнение к стандартному виду.
Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Стало быть, уже готово к решению. Слева — полный набор членов, выстроенных по убыванию степеней, а справа — ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу.
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
Вот и пишем:
a = 7; b = -1; c = -8
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
Аккуратно подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных промахов:
D = b2-4ac = (-1)2 – 4·7·(-8) = 1+224 = 225
Извлекаем корень из дискриминанта:
Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу — считаем наши корни.
4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.
Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:
И считаем:
Вот и всё. Это ответ.)
Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.
В нашем случае можно было бы сразу записать:
Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, можно где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно — ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте про корень.) Специально акцентирую внимание на этом моменте, потому что сам дискриминант народ обычно считает правильно, а вот корень извлечь частенько забывает… К тому же, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу — в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в задачах с параметрами. Такие задачи — высший пилотаж на ЕГЭ!
Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.
Например, дано нам такое уравнение:
x2 + 1 = 4x
Как обычно, работаем прямо по алгоритму.
1. Приводим уравнение к стандартному виду.
Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:
x2 — 4х + 1 = 0
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
В нашем случае:
a = 1; b = -4; c = 1
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
D = b2-4ac = (-4)2 – 4·1·1 = 12
А вот и первый сюрприз.) Дискриминант не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:
Что делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!
Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:
4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.
Поехали:
Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.
Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми — либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам наивно полагая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) — скорее правило, чем исключение! И если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.
Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они — точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать — сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)
Как видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное — аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Вот краткий перечень глупых ошибок при решении квадратных уравнений:
1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней.
2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.
3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не 2а, как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а=1). Внимательнее надо быть, да.)
Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений никто не отменял, да.)
Например, дано такое уравнение:
Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева — квадратный трёхчлен, построенный по убыванию степеней, справа — ноль.
Наши коэффициенты будут:
a = -1/3; b = 3/2; c = -5
Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты — дробные. Неудобно как-то…
Согласен, неудобно! Всё-таки лучше, когда уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:
А что будет справа? Справа будет ноль. Ноль на что ни умножай — всё равно ноль будет. Хорошее число.)
Итого получим:
-2х2 + 9х — 30 = 0
И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и прочее. Минус перед иксом в квадрате — нехорош. Забыть его очень легко. Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:
2х2 - 9х + 30 = 0
Ну вот. А теперь — по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:
a = 2; b = -9; c = 30
Считаем дискриминант:
D = b2-4ac = (-9)2 – 4·2·30 = 81-240 = -159
Вот так штука! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ — решений нет.
Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)
Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)
Неполные квадратные уравнения
Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает — или bx или с. Или обоих членов сразу.
Например:
х2 — 3х = 0
х2 — 16 = 0
И так далее.)
Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.
Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободный член с вообще отсутствует! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)
Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!
И все дела.)
Но неполные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…
Например, такое уравнение:
х2 — 3х = 0
Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:
х(х-3) = 0
И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:
х1 = 0
х2 = 3
И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!
Теперь рассмотрим другое уравнение:
х2 — 16 = 0
А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:
х2 = 16
Остаётся корень извлечь из 16 и — ответ готов:
Тоже два корня: х1 = -4; х2 = 4.
И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа — надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…
Подытожим тему практическими советами.
1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.
2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.
3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).
Ну что, наш урок окончен. Теперь можно и порешать.)
Решить уравнения:
2x2 — 7x + 3 = 0
х2 — x — 30 = 0
х2 + 6х + 9 = 0
х2 — 7x = 0
х2 + 4x + 5 = 0
-2x2 + 98 = 0
x2 + 0,05x — 0,05 = 0
Ответы (в беспорядке):
х1 = -5; x2 = 6
x1 =-0,2; x2 = 0,5
x1 = 0; x2 = 7
x1 = -0,25; x2 = 0,2
корней нет
x1 = 0,5; x2 = 3
x = -3
x1 = -7; x2 = 7
Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения — не ваша беда.) Все получились, а последние два — нет? Значит, проблема — в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте — и будет вам счастье!)