Умение проделывать такую процедуру крайне необходимо во многих темах математики, связанных с квадратным трёхчленом ax2+bx+c. Самые распространённые:
1) Рисование парабол y=ax2+bx+c;
2) Решение многих заданий на квадратный трёхчлен (квадратные уравнения и неравенства, задачи с параметрами и т.д.);
3) Работа с интегралами от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен, а также работа с кривыми второго порядка (для студентов).
Полезная штука, короче! Претендуете на пятёрку? Тогда осваиваем!)
Что значит выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?
Это задание означает, что исходный квадратный трёхчлен c помощью тождественных преобразований выражений надо преобразовать вот к такому виду:
Число a что слева, что справа — одно и то же. Коэффициент при квадрате икса. Потому и обозначен одной буквой. Умножается справа на квадрат скобок. В самих скобках сидит тот самый двучлен, о котором и идёт речь в этой теме. Сумма чистого икса и какого-то числа m. Да, прошу обратить внимание, именно чистого икса! Это важно.
А вот буковки m и n справа — некоторые новые числа. Какие уж получатся в результате наших преобразований. Они могут получиться положительными, отрицательными, целыми, дробными — всякими! В примерах ниже сами увидите. Эти числа зависят от коэффициентов a, b и c. Для них есть свои специальные общие формулы. Достаточно громоздкие, с дробями. Поэтому давать их прямо здесь и сейчас я не буду. Зачем вашим светлым головам лишний мусор? Да и неинтересно это. Поработаем творчески.)
Что необходимо знать и понимать?
Прежде всего, необходимо знать назубок формулы сокращённого умножения. Хотя бы две из них — квадрат суммы и квадрат разности.
Вот эти:
Без этой парочки формул — никуда. Не только в этом уроке, а почти во всей остальной математике вообще. Намёк понятен?)
Но одних лишь механически заученных формул здесь недостаточно. Нужно ещё грамотно уметь применять эти формулы. Причём не столько напрямую, слева направо, сколько наоборот, справа налево. Т.е. по исходному квадратному трёхчлену уметь расшифровывать квадрат суммы/разности. Это значит, вы должны легко, на автомате, узнавать равенства типа:
x2+4x+4 = (x+2)2
x2-10x+25 = (x-5)2
x2+x+0,25 = (x+0,5)2
и так далее…
Без этого полезного навыка — тоже никак… Так что если с этими простыми вещами проблемы, то закрывайте эту страницу. Рановато вам сюда.) Сначала сходите по ссылочке выше. Она — для вас!
Ах, вы давно в теме? Отлично! Тогда читаем дальше.)
Итак:
Как выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?
Начнём, разумеется, с простого.
Уровень 1. Коэффициент при x2 равен 1
Это самая простая ситуация, требующая минимум дополнительных преобразований.
Например, дан квадратный трёхчлен:
х2+4х+6
Внешне выражение очень похоже на квадрат суммы. Мы знаем, что в квадрате суммы сидят чистые квадраты первого и второго выражений (a2 и b2), а также удвоенное произведение 2ab этих самых выражений.
Ну, квадрат первого выражения у нас уже присутствует в чистом виде. Это х2. Собственно, именно в этом и заключается простота примеров этого уровня. Нужно получить квадрат второго выражения b2. Т.е. найти b. И зацепкой будет служить выражение с иксом в первой степени, т.е. 4х. Ведь 4х можно представить в виде удвоенного произведения икса на двойку. Вот так:
4x = 2́·х·2
Значит, если 2ab=2·x·2 и a=x, то b=2. Можно записать:
х2+4х+6 = х2+2́·х·2+22….
Так нам хочется. Но! Математике хочется, чтобы от наших действий суть исходного выражения не изменилась. Так уж она устроена. Мы прибавили к удвоенному произведению 22, тем самым изменив исходное выражение. Значит, чтобы математику не обидеть, это самое 22 надо тут же и отнять. Вот так:
…= х2+2́·х·2+22-22….
Почти всё. Остаётся лишь добавить 6, в соответствии с исходным трёхчленом. Шестёрка-то никуда не делась! Пишем:
= х2+2́·х·2+22- 22+6 = …
Теперь первые три слагаемых дают чистый (или — полный) квадрат двучлена x+2. Или (x+2)2. Чего мы и добиваемся.) Я даже не поленюсь и скобочки поставлю:
… = (х2+2́·х·2+22) - 22+6 =…
Скобки сути выражения не меняют, зато чётко подсказывают, что, как и почему. Осталось свернуть эти три слагаемых в полный квадрат по формуле, сосчитать в числах оставшийся хвостик -22+6 (это будет 2) и записать:
х2+4х+6 = (x+2)2+2
Всё. Мы выделили квадрат скобок (x+2)2 из исходного квадратного трёхчлена х2+4х+6. Превратили его в сумму полного квадрата двучлена (x+2)2 и некоторого постоянного числа (двойки). А теперь я запишу всю цепочку наших преобразований в компактном виде. Для наглядности.
И все дела.) Вот и вся суть процедуры выделения полного квадрата.
Кстати, чему здесь равны числа m и n? Да. Каждое из них равно по двойке: m=2, n=2. Так уж получилось в ходе выделения.
Другой пример:
Выделить полный квадрат двучлена:
х2-6х+8
И опять первый взгляд — на слагаемое с иксом. Превращаем 6х в удвоенное произведение икса и тройки. Перед удвоенным — минус. Значит, выделяем квадрат разности. Прибавляем (для получения полного квадрата) и тут же вычитаем (для компенсации) тройку в квадрате, т.е. 9. Ну и про восьмёрку не забываем. Получим:
Здесь m=-3 и n=-1. Оба отрицательные.
Улавливаете принцип? Тогда настал черёд освоить и общий алгоритм. Всё то же самое, но через буквы. Итак, перед нами квадратный трёхчлен x2+bx+c (a=1). Что мы делаем:
1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени (bx) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b/2:
2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b/2. Прибавляем — для дополнения до полного квадрата. Отнимаем — для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с.
3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.
Ясненько? Первые два примера были совсем простые, с целыми числами. Для знакомства. Хуже, когда в процессе преобразований вылезают дроби. Главное здесь — не бояться! А чтобы не бояться, всяко надо знать действия с дробями, да…) Но здесь же пятёрочный уровень, не так ли? Усложняем задачу.
Допустим задан такой трёхчлен:
х2+х+1
Как в этом трёхчлене организовать квадрат суммы? Не вопрос! Точно так же. Работаем по пунктам.
1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени (bx) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b/2.
Наше слагаемое с иксом есть просто икс. И… что? Как нам одинокий икс превратить в удвоенное произведение? Да очень просто! Прямо по инструкции. Вот так:
Число b в исходном трёхчлене — единичка. Стало быть, b/2 получается дробным. Одна вторая. 1/2. Ну и ладно. Не маленькие уже.)
2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b/2. Прибавляем — для дополнения до полного квадрата. Отнимаем — для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с.
Продолжаем:
3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.
Первые три слагаемых отделяем скобками. Можно и не отделять, конечно. Делается это чисто для удобства и наглядности наших преобразований. Теперь хорошо видно, что в скобках сидит полный квадрат суммы (x+1/2)2. А всё оставшееся за пределами квадрата суммы (если посчитать) даёт +3/4. Финишная прямая:
Ответ:
Здесь m=1/2, а n=3/4. Дробные числа. Бывает. Такой уж трёхчлен попался…
Такая вот технология. Разобрались? Можно двигать на следующий уровень?)
Уровень 2. Коэффициент при x2 не равен 1 — как быть?
Это более общий случай по сравнению со случаем а=1. Объём вычислений, разумеется, возрастает. Это огорчает, да… Зато общий ход решения в целом остаётся прежним. Просто к нему добавляется всего один новый шаг. Это радует.)
Пока рассмотрим безобидный случай, безо всяких дробей и прочих подводных камней. Например:
2x2-4x+6
В серединке стоит минус. Значит, будем подгонять под квадрат разности. Но коэффициент при квадрате икса — двойка. А проще работать с единичкой. C чистым иксом. Что делать? А вынесем-ка эту двойку за скобки! Чтоб не мешала. Имеем право! Получим:
2(x2-2x+3)
Вот так. Теперь трёхчлен в скобках — уже с чистым иксом в квадрате! Как того требует алгоритм уровня 1. И теперь уже можно работать с этим новым трёхчленом по старой отработанной схеме. Вот и действуем. Выпишем-ка его отдельно да преобразуем:
x2-2x+3 = x2-2·x·1+12 -12+3 = (x2-2·x·1+12) -12+3 = (x-1)2+2
Полдела сделано. Осталось вставить полученное выражение внутрь скобок, да раскрыть их обратно. Получится:
2(x2-2x+3) = 2((x-1)2+2) = 2(x-1)2+4
Готово!
Ответ:
2x2-4x+6 = 2(x-1)2+4
Фиксируем в голове:
Если коэффициент при квадрате икса не равен единице, то выносим этот коэффициент за скобки. С оставшимся внутри скобок трёхчленом работаем по привычному алгоритму для a=1. Выделив в нём полный квадрат, вставляем результат на место, а внешние скобки раскрываем обратно.
А если коэффициенты b и с не делятся нацело на а? Это — самый общий и одновременно самый скверный случай. Тогда только дроби, да… Ничего не поделать. Например:
3x2+2x-5
Всё аналогично, отправляем тройку за скобки, получаем:
К сожалению, ни двойка, ни пятёрка нацело на тройку не делятся, поэтому коэффициенты нового (приведённого) трёхчлена — дробные. Ну и ничего страшного. Работаем прямо с дробями: две трети икс превращаем в удвоенное произведение икса на одну треть, прибавляем квадрат одной трети (т.е. 1/9), отнимаем его, отнимаем 5/3…
В общем, вы поняли!
Дорешайте, чего уж там. Должно в итоге получиться:
И ещё одни грабли. Многие ученики лихо расправляются с положительными целыми и даже дробными коэффициентами, но зависают на отрицательных. Например:
-x2+2x-3
Что делать с минусом перед x2? В формуле квадрата суммы/разности всяко плюс нужен… Не вопрос! Всё то же самое. Выносим этот самый минус за скобки. Т.е. минус единицу. Вот так:
-x2+2x-3 = -(x2-2x+3) = (-1)·(x2-2x+3)
И все дела. А с трёхчленом в скобках - опять по накатанной колее.
x2-2x+3 = (x2-2x+1) -1+3 = (x-1)2+2
Итого, с учётом минуса:
-x2+2x-3 = -((x-1)2+2) = -(x-1)2-2
Вот и всё. Что? Не знаете, как выносить минус за скобки? Ну, это вопрос к элементарной алгебре седьмого класса, не к квадратным трёхчленам…
Запоминаем: работа с отрицательным коэффициентом а ничем по своей сути не отличается от работы с положительным. Выносим отрицательное а за скобки, а дальше - по всем правилам.
Зачем нужно уметь выделять полный квадрат?
Полезная вещь первая - рисуем параболы быстро и без ошибок!
Например, такое задание:
Построить график функции: y=-x2+2x+3
Что делать будем? По точкам строить? Можно, конечно. Маленькими шажочками по длинной дороге. Довольно тупо и неинтересно…
Прежде всего, напоминаю, что при построении любой параболы мы всегда предъявляем ей стандартный набор вопросов. Их два. А именно:
1) Куда направлены ветви параболы?
2) В какой точке находится вершина?
С направлением ветвей всё ясно прямо из исходного выражения. Ветви будут направлены вниз, ибо коэффициент перед x2 — отрицательный. Минус один. Минус перед квадратом икса всегда переворачивает параболу.
А вот с расположением вершины всё не так очевидно. Есть, конечно, общая формула вычисления её абсциссы через коэффициенты a и b.
Вот эта:
Но далеко не каждый помнит эту формулку, ох не каждый… А 50% тех, кто всё-таки помнит, спотыкаются на ровном месте и косячат в банальной арифметике (обычно при подсчёте игрека). Обидно, правда?)
Сейчас вы научитесь искать координаты вершины любой параболы в уме за одну минуту! И икс и игрек. Одним махом и безо всяких формул. Как? С помощью выделения полного квадрата!
Итак, выделим полный квадрат в нашем выражении. Получим:
y=-x2+2x+3 = -(x-1)2+4
Кто хорошо прошарен в общих сведениях о функциях и хорошо освоил тему "преобразования графиков функций", тот без труда сообразит, что наша искомая парабола получается из обычной параболы y=x2 c помощью трёх преобразований. Это:
1) Смена направления ветвей.
Об этом говорит знак "минус" перед квадратом скобок (а=-1). Было y=x2, стало y=-x2.
Преобразование: f(x) -> -f(x).
2) Параллельный перенос параболы у=-x2 по иксу на 1 единицу ВПРАВО.
Так получается промежуточный график y=-(x-1)2.
Преобразование: -f(x) -> -f(x+m) (m=-1).
Почему смещение вправо, а не влево, хотя в скобках - минус? Такова теория преобразований графиков. Это отдельная тема.
Ну и наконец,
3) Параллельный перенос параболы y=-(x-1)2 по игреку на 4 единицы ВВЕРХ.
Так получается окончательная парабола y= -(x-1)2+4.
Преобразование: -f(x+m) -> -f(x+m)+n (n=+4)
А теперь смотрим на нашу цепочку преобразований и соображаем: куда смещается вершина параболы y=х2? Была в точке (0; 0), после первого преобразования вершина никуда не сместилась (парабола просто перевернулась), после второго — съехала по иксу на +1, а после третьего — по игреку на +4. Итого вершина попала в точку (1; 4). Вот и весь секрет!
Картинка будет следующей:
Собственно, именно по этой причине я с такой настойчивостью заострял ваше внимание на числах m и n, получающихся в процессе выделения полного квадрата. Не догадались, зачем? Да. Дело в том, что точка с координатами (-m; n) — это всегда вершина параболы y=a(x+m)2+n. Просто смотрим на числа в преобразованном трёхчлене и в уме даём верный ответ, где находится вершина. Удобно, правда?)
Рисование парабол — это первая полезная вещь. Переходим ко второй.
Полезная вещь вторая — решение квадратных уравнений и неравенств.
Да-да! Выделение полного квадрата во многих случаях оказывается гораздо быстрее и эффективнее традиционных приёмов решения подобных заданий. Сомневаетесь? Пожалуйста! Вот вам задание:
Решить неравенство:
x2+4x+5 > 0
Узнали? Да! Это классическое квадратное неравенство. Все такие неравенства решаются по стандартному алгоритму. Для этого нам надо:
1) Сделать из неравенства уравнение стандартного вида и решить его, найти корни.
2) Нарисовать ось Х и отметить точками корни уравнения.
3) Схематично изобразить параболу по исходному выражению.
4) Определить области +/- на рисунке. Выбрать нужные области по исходному неравенству и записать ответ.
Собственно, весь этот процесс и напрягает, да…) И, более того, не всегда спасает от ошибок в нестандартных ситуациях типа этого примера. Попробуем сначала по шаблону?
Итак, выполняем пункт первый. Делаем из неравенства уравнение:
x2+4x+5 = 0
Стандартное квадратное уравнение, без фокусов. Решаем! Считаем дискриминант:
D = b2-4ac = 42 - 4∙1∙5 = -4
Вот-те раз! А дискриминант-то отрицательный! Нет корней у уравнения! И на оси рисовать нечего… Что делать?
Вот тут некоторые могут сделать вывод, что исходное неравенство тоже не имеет решений. Это фатальное заблуждение, да… Зато с помощью выделения полного квадрата верный ответ к этому неравенству можно дать за полминуты! Сомневаетесь? Что ж, можете засекать время.
Итак, выделяем полный квадрат в нашем выражении. Получаем:
x2+4x+5 = (x+2)2+1
Исходное неравенство стало выглядеть вот так:
(x+2)2+1 > 0
А теперь, ничего далее не решая и не преобразовывая, просто включаем элементарную логику и соображаем: если к квадрату какого-то выражения (величине заведомо неотрицательной!) прибавить ещё единичку, то какое число мы в итоге получим? Да! Строго положительное!
А теперь смотрим на неравенство:
(x+2)2+1 > 0
Переводим запись с математического языка на русский: при каких икс строго положительное выражение будет строго больше нуля? Не догадались? Да! При любых!
Вот вам и ответ: х — любое число.
А сейчас вернёмся к алгоритму. Всё-таки понимание сути и простое механическое заучивание — вещи разные.)
Суть алгоритма в том, что мы из левой части стандартного неравенства делаем параболу, и смотрим, где она выше оси Х, а где ниже. Т.е. где положительные значения левой части, где отрицательные.
Если мы сделаем из нашей левой части параболу:
y = x2+4x+5
и нарисуем её график, то увидим, что вся парабола целиком проходит выше оси Х. Картинка будет выглядеть вот так:
Парабола кривовата, да… На то она и схематичная. Но при этом всё что нам надо, на картинке видно. Нет у параболы точек пересечения с осью Х, нет нулевых значений игрека. И отрицательных значений, естественно, тоже нет. Что и показано штриховкой всей оси Х целиком. Кстати, ось Y и координаты вершины я здесь изобразил не зря. Сравните координаты вершины параболы (-2; 1) и наше преобразованное выражение!
y = x2+4x+5 = (x+2)2+1
И как вам? Да! В нашем случае m=2 и n=1. Стало быть, вершина параболы имеет координаты: (-m; n) = (-2; 1). Всё логично.)
Ещё задание:
Решить уравнение:
x2+4x+3 = 0
Простецкое квадратное уравнение. Можно решать по старинке, через дискриминант. Можно через теорему Виета. Как угодно. Математика не возражает.)
Получим корни: x1=-3 x2=-1
А если ни тот, ни другой способы того… не помним? Что ж, двойка вам светит, по-хорошему, но… Так уж и быть, спасу! Покажу, как можно решать некоторые квадратные уравнения только лишь методами седьмого класса. Снова выделяем полный квадрат!)
x2+4x+3 = (x+2)2-1
А теперь расписываем полученное выражение как… разность квадратов! Да-да, есть такая формула сокращённого умножения в седьмом классе:
a2-b2 = (a-b)(a+b)
В роли а выступают скобки (x+2), а в роли b — единичка. Получаем:
(x+2)2-1 = (x+2)2-12 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)
Вставляем это разложение в уравнение вместо квадратного трёхчлена:
(x+1)(x+3)=0
Осталось сообразить, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Вот и приравниваем (в уме!) к нулю каждую скобку.
Получим: x1=-3 x2=-1
Вот и всё. Те же самые два корня. Такой вот искусный приёмчик. В дополнение к дискриминанту.)
К слову, о дискриминанте и об общей формуле корней квадратного уравнения:
В уроке по квадратным уравнениям мною был опущен вывод этой громоздкой формулы. За ненадобностью. Зато здесь ему самое место.) Не хотите ли узнать, как получается эта формула? Откуда вообще берётся выражение для дискриминанта и почему именно b2-4ac, а не как-то иначе? Всё-таки полное понимание сути происходящего куда полезнее бездумной писанины всяких буковок и символов, правда?)
Полезная вещь третья — вывод формулы корней квадратного уравнения.
Ну что, поехали! Берём квадратный трёхчлен в общем виде ax2+bx+c и… начинаем выделять полный квадрат! Да, прямо через буквы! Была арифметика, стала — алгебра.) Сначала, как обычно, выносим букву a за скобки, а все остальные коэффициенты делим на a:
Вот так. Это вполне законное преобразование: а не равно нулю, и делить на неё можно. А со скобками снова работаем по обычному алгоритму: из слагаемого с иксом делаем удвоенное произведение, прибавляем/отнимаем квадрат второго числа…
Всё то же самое, но с буквами.) Попробуйте доделать сами! Полезно!)
После всех преобразований у вас должно получиться вот что:
И зачем нам из безобидного трёхчлена сооружать такие нагромождения — спросите вы? Ничего, сейчас интересно будет! А теперь, знамо дело, приравниваем эту штуку к нулю:
Решаем как обычное уравнение, работаем по всем правилам, только с буквами. Делаем элементарные тождественные преобразования уравнений:
1) Большую дробь переносим вправо. При переносе плюс меняем на минус. Чтобы не рисовать минус перед самой дробью, я просто поменяю все знаки в числителе. Слева в числителе было 4ac-b2, а после переноса станет -(4ac-b2), т.е. b2-4ac. Что-то знакомое, не находите? Да! Дискриминант, он самый…) Будет вот так:
2) Очищаем квадрат скобок от коэффициента. Делим обе части на "а". Слева, перед скобками, буква а исчезает, а справа уходит в знаменатель большой дроби, превращая его в 4a2.
Получается вот такое равенство:
У вас не так вышло? Тогда тема "Как выразить переменную из формулы?" — для вас. Срочно туда!
Следующим шагом извлекаем корень. Нас же икс интересует, верно? А икс под квадратом сидит… Извлекаем по правилам извлечения корней, разумеется. После извлечения получится вот это:
Слева квадрат суммы исчезает и остаётся просто сама эта сумма. Что и требуется.) А вот справа появляется плюс/минус. Ибо наша здоровенная дробь, несмотря на её устрашающий вид, это просто какое-то число. Дробное число. Зависящее от коэффициентов a, b, c. При этом корень из числителя этой дроби красиво не извлекается, там разность двух выражений. А вот корень из знаменателя 4a2 вполне себе извлекается! Получится просто 2a.
"Хитрый" вопрос на засыпку: имел ли я право, извлекая корень из выражения 4a2, давать ответ просто 2а? Ведь правило извлечения корня из квадрата обязывает ставить знак модуля, т.е. 2|a| !
Подумайте, почему знак модуля я всё-таки опустил. Очень полезно. Подсказка: ответ кроется в знаке плюс/минус перед дробью.)
Остались сущие пустяки. Обеспечиваем слева чистый икс. Для этого маленькую дробь переносим вправо. Со сменой знака, ясен перец. Напоминаю, что знак в дроби можно менять где угодно и как угодно. Хотим перед дробью поменяем, хотим в знаменателе, хотим в числителе. Я поменяю знак в числителе. Было +b, стало –b. Надеюсь, возражений нет?) После переноса станет так:
Складываем две дроби с одинаковыми знаменателями и получаем (наконец-то!):
Ну? Что тут сказать? Вау!)
Полезная вещь четвёртая — студентам на заметку!
А теперь плавненько переместимся из школы в ВУЗ. Вы не поверите, но выделение полного квадрата в высшей математике тоже нужно!
Например, такое задание:
Найти неопределённый интеграл:
С чего начинать? Прямое применение таблицы интегралов не катит. Только выделение полного квадрата и спасает, да…)
Кто не умеет выделять полный квадрат, тот навсегда зависнет на этом несложном примере. А кто умеет, тот выделяет и получает:
x2+4x+8 = (x+2)2+4
И теперь интеграл (для знающих) берётся одной левой!
Здорово, правда? И это не только интегралы! Я уж молчу про аналитическую геометрию, с её кривыми второго порядка — эллипсом, гиперболой, параболой и окружностью.
Например:
Определить тип кривой, заданной уравнением:
x2+y2-6x-8y+16 = 0
Без умения выделять полный квадрат задание не решить, да… А ведь пример проще некуда! Для тех, кто в теме, разумеется.
Группируем в кучки члены с иксом и с игреком и выделяем полные квадраты по каждой переменной. Получится:
(x2-6x) + (y2-8y) = -16
(x2-6x+9)-9 + (y2-8y+16)-16 = -16
(x-3)2 + (y-4)2 = 9
(x-3)2 + (y-4)2 = 32
Ну и как? Узнали, что за зверь?) Ну, конечно! Окружность радиуса тройка с центром в точке (3; 4).
И все дела.) Полезная штука — выделение полного квадрата!)