Что такое степень?
Математических действий в математике совсем немного, и четыре из них знакомы нам ещё с начальных классов. Это сложение и вычитание, а также умножение и деление. Про них, думаю, и так всё понятно. :) Но в седьмом классе к данным четырём действиям добавляется ещё одно новое интересное и крайне важное в математике действие - возведение в степень. Что же это такое?
Степень с натуральным показателем. Как возвести в степень?
Для ответа на вопрос, что такое степень, для начала вспомним, что такое обычное умножение. По своей сути.)
Например, надо нам найти сумму четырёх одинаковых слагаемых:
a + a + a + a
Математики, как и большинство людей, народ ленивый. :) И не любят лишнюю писанину. Как кратко можно обозначить результат такого сложения? Правильно, a·4 или 4a. Или умножение числа a на число 4. Откуда взялась четвёрка? А четвёрка нам здесь говорит, сколько раз между собой складывается это самое число a.
Значит, умножение (любое) на натуральное число n – это просто сложение n одинаковых слагаемых.
Теперь шагаем на ступеньку выше. Заменяем в нашей конструкции знаки «плюс» на знаки умножения. Получаем новую конструкцию - произведение n одинаковых множителей.) В нашем конкретном случае n = 4:
a · a · a · a
И тут ленивые математики не захотели каждый раз возиться, выписывая n одинаковых множителей подряд. И тоже придумали отдельное название для такого произведения — степень.
Операция нахождения степени в математике называется легко и просто - возведением в степень. При этом перемножаемое число называется основанием степени, а число, указывающее, сколько раз оно помножается само на себя, - показателем степени. Результат данного действия так и называется - степенью. Так же, как и "сумма/разность" для сложения/вычитания или "произведение/частное" - для умножения и деления. :-) В общем виде степень с натуральным показателем обозначается вот так:
an
Здесь a - основание, а верхний индекс n - показатель степени. Основание — это число, которое возводится в степень. Показатель — это число, показывающее, в какую именно степень возводится основание.
Согласитесь, что так обозначать степень куда удобнее и компактнее, чем в лоб писать что-то вроде
5·5·5·5·5·5·5·5·5·5·5·5…
Причём ладно, если множителей немного — 3 или 10 там. А если 100? Или 1000? Вот и пришлось вводить отдельное краткое обозначение для степени, не зависящее от хотелок математиков.)
Итак. Возвести число в натуральную (вторую, третью, четвёртую и т.д.) степень - это просто означает повторить число множителем или, что то же самое, помножить само на себя два, три, четыре и т.д. раз - столько, сколько просят.
Например, 34 = 3·3·3·3 = 81. Здесь тройка - основание степени, а четвёрка сверху - показатель. Читается: "три в четвёртой степени".
Ещё примеры:
25 = 2·2·2·2·2 = 32 (произведение пяти двоек или "два в пятой степени");
43 = 4·4·4 = 64 (произведение трёх четвёрок или "четыре в третьей степени").
Обратим внимание, что степенью называется именно произведение одинаковых множителей. Если хотя бы один из множителей от остальных отличается, то степенью такое произведение в целом назвать уже нельзя.)
Внимание! Не путаем степень с произведением! Несмотря на всю родственность этих двух операций. ) Запись, к примеру, 43, означает именно перемножение трёх четвёрок. Ни в коем случае не умножение 4·3! Это - грубейшая ошибка и не одно и то же. Сравним: 43 = 4·4·4 = 64, а 4·3 = 12. Как видно, разница огромная. Шестьдесят четыре и двенадцать. :-)
Вторая степень (с показателем 2) называется квадратом числа, а третья степень (с показателем 3) - кубом числа.
Откуда взялись такие особые названия для второй и третьей степени? Из… геометрии. :)
Например, есть у нас знакомая ещё с младших классов геометрическая фигура - прямоугольник, имеющий, как мы знаем, длину и ширину.
Назовём их а и b.
Тогда площадь прямоугольника, как мы знаем, считается как произведение длины и ширины или просто ab.
А что же происходит со сторонами, когда наш прямоугольник превращается в квадрат? Да! Длина и ширина становятся равны (так как у квадрата, как известно, все стороны равны :-)). И что же тогда произойдёт с нашей площадью (площадью теперь уже не прямоугольника, а квадрата)? Раз а и b у нас стали равны, то площадь нашего квадрата станет равна произведению
a · a = a2.
Иначе говоря, возведение числа a в квадрат геометрически означает вычисление площади квадрата со стороной a. Отсюда и название степени. :)
Что же касается куба числа, то тут всё аналогично: третья степень (или, что то же самое, куб) числа a равна только уже не площади, а объёму куба со стороной a.
Теперь поговорим о показателе. Слово "натуральный" в заголовке не зря написано. :) Почему же показатель называется натуральным? Чего в нём такого уж натурального-то? :-)
Дело всё в том, что числа 1, 2, 3, 4 и т.д., которые фигурируют в показателе степени и которые говорят нам, сколько раз надо помножить число-основание само на себя, являются натуральными числами. То есть, числами, использующимися при счёте. Именно поэтому и сам показатель - натуральный. :-)
Что такое первая степень числа?
Особняком стоит такое, очень часто встречающееся в математике понятие, как первая степень числа.
Поговорим теперь, что же это такое. То есть, a1 ("а в первой степени"). Если с любой другой натуральной степенью, большей единицы, - квадратом, кубом и т.д. нам всё уже ясно - это умножение числа самого на себя (или, что то же самое, повторение числа множителем два, три и т.д. раз), то что же такое первая степень, согласно этой логике? Как можно повторить число множителем один раз ? Процедуру умножения "само на себя" тут вообще никак не пристегнёшь, ибо непонятно, как тут вообще можно что-то умножить (а тем более - само на себя), если "множитель" только один. Математики на этот счёт договорились очень просто - считать первой степенью любого числа просто само это число. Иначе говоря,
Первая степень любого числа - это просто само число: a1 = a.
Работаем с отрицательными числами.
Отрицательные числа приходится возводить в степень постоянно. Не реже положительных. :) И главным источником дурацких ошибок при работе с ними является, как вы уже, наверное, догадываетесь, путаница в знаках. Есть смысл разобраться, правда?
Для начала посчитаем вот такую степень: (-2)2
Всё точно так же. Берём и умножаем минус двойку саму на себя:
(-2)2 = (-2)·(-2) = 4.
Получили четыре. С каким знаком? С плюсом! Ибо минус на минус всегда даёт плюс. А вот это уже очень важно. :)
А теперь возведём минус двойку в другую степень. В куб. :)
(-2)3 = (-2)·(-2)·(-2) = 8.
Получили восьмёрку. С минусом! Минус восемь. Почему так произошло? Потому, что при перемножении трёх отрицательных чисел два минуса дали нам плюс, а вот для третьего минуса уже не оказалось пары. :) И именно этот «лишний» минус и сделал нам всё произведение отрицательным. :) Смотрите сами:
Идём дальше. Считаем четвёртую степень:
Здесь для каждого минуса нашлась пара. Поэтому вся степень — положительная. :)
С пятой степенью, думаю, уже всё ясно: пятёрка — число нечётное, и для одного минуса не найдётся пары. Следовательно, результат возведения получится отрицательным. То есть, (-2)5 = -32.
И так далее. Эту славную цепочку можно продолжать до бесконечности… Но не нужно. :) Самые наблюдательные, возможно, уже заметили: при возведении отрицательного числа в чётную степень всегда будет получаться положительное число, а при возведении в нечётную — отрицательное. Респект наблюдательным. :) Совершенно верно! Отсюда правило: отрицательное число в чётной степени даёт положительное число, а в нечётной — отрицательное.
Здесь пока всё понятно. Но чуть выше я уже упоминал про ошибки в знаках. Где же чаще всего народ ошибается? А типичная ошибка здесь случается вот какая. Решим эту проблемку. Для этого рассмотрим два выражения:
(-2)2 и -22.
В одном есть скобочки, а в другом — нету. Как вы думаете, одинаковые это выражения или же разные? Ну, для ответа на вопрос надо, разумеется, просто посчитать оба выражения. Считаем сначала (-2)2. Здесь всё ясно. Получится (-2)·(-2), т.е. просто 4.
А теперь считаем -22. Если вы сразу решите, что это тоже просто 4, то грубо ошибётесь! И причина ошибки — в этих самых скобочках. Точнее, в их отсутствии. :) Скобочек здесь нет, а это значит, что сначала мы должны возвести двойку в квадрат, а уже потом перед результатом поставить минус. :) Именно двойку, а не минус двойку! Для лучшего восприятия напишу то же самое, но со скобочками. Вот так:
-22 = -(22) = -4.
Уловили разницу? Поэтому, чтобы не косячить в знаках, внимательно следим за тем, сам минус целиком у нас возводится в степень или же минус ставится перед степенью. Отличительная черта — скобочки. И тогда ошибок в знаках не будет. :)
Правила действий со степенями. Умножение степеней.
В степенях, как и в любых других математических понятиях - корнях, логарифмах, синусах и т.д. есть свой набор правил. И в правилах действий со степенями тоже есть свои неповторимые особенности, которые надо очень хорошо запомнить, а лучше - понять. Начнём с умножения степеней. :)
Для начала посчитаем вот такое выражение:
22·23
Можно, конечно, отдельно посчитать 22, отдельно 23 и результаты перемножить. А если показатели большие? 100, например? Будем столбиком перемножать? Хорошо бы уметь перемножать степени с любыми показателями и получать конечный результат уже в виде новой степени. Для этого распишем 22 как 2·2, а 23 как 2·2·2. Вот так:
22·23 = (2·2)·(2·2·2)
Скобки при перемножении одинаковых двоек сути дела не меняют. Поскольку кроме умножения других действий здесь просто нет.) Поэтому скобки со спокойной душой можно опустить:
(2·2)·(2·2·2) = 2·2·2·2·2
А что такое 2·2·2·2·2? Это, как мы видим, произведение пяти двоек, т.е. не что иное, как 25. Значит, можно записать:
22·23 = 25
А теперь анализируем: каким образом у нас образовалась пятёрка в показателе? Не вопрос: мы сложили показатели 2 и 3 у множителей. И получили, знамо дело, пятёрку в журнал.) То есть,
22·23 = 22+3 = 25 = 32.
И так будет получаться всегда при любом перемножении степеней с одинаковым основанием. Отсюда правило произведения степеней: при перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
am · an = am+n
Например, 34·32 = 34+2 = 36 = 729.
Или b5·b7 = b5+7 = b12. И так далее.
Собственно, а как в общем виде понять, почему так получается? В математике большинство утверждений принято доказывать.) Для двойки мы правило уже доказали. На частном примере. А вдруг, при каких-то других числах оно справедливо уже не будет? Проверим.)
Представим, что у нас не двойка, а просто какое-то отвлечённое число a. Нам надо записать в виде степени выражение am · an. Для этого распишем каждую степень отдельно:
Значит,
Вот и всё, никаких хитростей.) Данное правило справедливо для любого количества множителей. Лишь бы основания были одинаковыми (это важно!):
К примеру, b3·b4·b5 = b3+4+5 = b14. Ну, и так далее.
Внимание! Типичные (и очень грубые) ошибки!
Во-первых. Для применения данного правила основания степеней должны быть одинаковыми! Я не зря ещё раз занудно выделяю это слово. :-) Попробуем, к примеру, применить его, когда основания разные:
34·25 = (....)4+5 = (....)9
Так, показатели мы сложили. Ну а дальше что? Что писать в итоговое основание будем? Двойку? Тройку? Или, может быть, шесть? Непонятно…
Именно поэтому для применения данного правила основания степеней и должны быть одинаковыми.)
А в данном примере можно лишь отдельно возвести тройку в четвёртую степень и двойку - в пятую, а полученные результаты уже перемножить (хотя бы столбиком).
Во-вторых. Сами степени между собой должны именно перемножаться, а не складываться! Это показатели в них мы складываем. Но степени между собой перемножаются. Не зря правило называется "произведение степеней".
Скажем, в выражениях типа 32 + 34 + 35 или a2 + a3 + a4 показатели складывать уже нельзя! Не имеем права. :-) Именно по той простой причине, что сами степени у нас связаны между собой знаком "плюс", а не умножением. Хотя основания и одинаковые, но плюс здесь всё испортил. :-)
Переходим теперь к делению степеней.
Правила действий со степенями. Деление степеней.
Процедура деления степеней ничем не сложнее умножения.) Допустим, надо поделить друг на друга две степени: 25:23. Просто берём и считаем. Два в пятой — это 32, а два в кубе — это 8. Значит,
25:23 = 32:8 = 4.
А теперь проанализируем наш результат. Что такое 4 как степень двойки? Два в квадрате, верно? Значит, наше деление можно записать вот так:
25:23 = 22.
Теперь снова анализируем показатели. У делимого показатель пятёрка, у делителя — тройка, а у частного — двойка. То есть, разность показателей делимого и делителя: 5 — 3 = 2. Значит,
25:23 = 25-3 = 22.
Итак, при делении двух степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней делимого и делителя вычитаются:
am : an = am-n
Ну, логично: если при перемножении степеней мы показатели складывали, то при делении их тогда надо уже вычитать. Потому что деление — это операция, обратная умножению. :-)
Например, 35:33 = 35-3 = 32 = 9. Или b10:b7 = b10-7 = b3. И так далее.)
Здесь одно важное (пока что, на нашем уровне) ограничение: показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя: m > n.
В самом деле, что будет, например, если мы попробуем найти вот такое частное:
b3:b5 = b3-5 = b-2 = ?
Вообще говоря, данное выражение имеет смысл, но что такое степень с отрицательным показателем, мы пока не знаем: в школе это понятие проходится чуть позже, так что придёт время - и мы тоже всё узнаем. В отдельном уроке. :-).
Что такое нулевая степень числа?
А вот степень с нулевым показателем, пожалуй, рассмотрим уже сейчас, наряду с натуральными показателями. Для этого вновь выпишем нашу формулку деления степеней:
am : an = am-n
Что произойдёт, если у нас показатели станут равны (m = n)? Согласно данному правилу, мы, вычитая показатели, получим некое число a0. С показателем, равным нулю. И что это за выражение?
Ведь мы, возводя в степень, повторяем число множителем два, три и т.д. раз. Но что же значит, повторить число множителем ноль раз? Непонятка! Если подходить к понятию степени с нулевым показателем так же, как и к степени с обычным натуральным показателем: ноль ведь не является натуральным числом!)) Как нам быть?
Попробуем подойти к данному выражению с немного другой стороны. Мы число am делим на число an. Но показатели m и n у нас равны (мы сами так приняли). Поэтому и сами эти числа тоже будут равны! И тогда получается, что мы какое-то число am делим на равное ему число am. Но что мы обычно получаем, когда делим какое-то число само на равное ему же самому? Ну, конечно! Единичку! :)
Итак, нулевая степень любого не равного нулю числа равна единице:
a0 = 1
Например, 20 = 30 = 1000 = 12340 = (-1)0 = (-337)0 =…=1
И так далее. Какое бы мы число ни возводили в нулевую степень - целое, дробное, отрицательное, какое хотим - всегда единица получится. Интересно, правда? :-)
Конечно, это число должно быть не равно нулю. Иначе выражение 00, означающее деление нуля на самого себя, просто не имеет смысла. :-)
Степень произведения. Степень частного.
Следующие два важных свойства, которые идут рука об руку, - это степень произведения и степень частного (дроби). Эти два правила тоже довольно логичны, просты и понятны.
Степень произведения равна произведению степеней множителей:
(a · b)n = an·bn
Ну, давайте посмотрим, почему же так получается. Так получается просто в силу переместительного свойства умножения. :) Смотрите сами:
Это правило позволяет легко и быстро как возводить в степень произведение, так и наоборот — представлять произведение одинаковых степеней в виде единой степени. Например,
(2·3)2 = 22·32 = 4·9 = 36
x3y3 = (xy)3
И так далее. Идея, думаю, понятна. Рассмотрим теперь возведение в степень частного. То есть, дроби. Здесь всё аналогично.)
Степень частного (дроби) равна частному степеней делимого и делителя (числителя и знаменателя):
(a : b)n = an:bn или
Например,
(6:3)2 = 62:32 = 36:9 = 4
Я не случайно объединил в данном правиле обычное деление (через две точки) и дробь. Ведь дробь - это по сути то же самое деление (числителя на знаменатель), только действие деления записывается в виде черты дроби. :-)
Возводить в степень частное через две точки приходится крайне редко, а вот дроби — сплошь и рядом.
А если дробь десятичная? Никаких проблем! Переводим её в обычную и — вперёд! Например,
Кстати, при возведении в степень десятичных дробей не стоит их тут же рваться сокращать при переходе к обычным: самим же будет проще записывать ответ в десятичной форме. Поэтому так и оставляем в знаменателе 10, 100 и так далее. :) Например,
А вот, если бы мы дробь 2/10 до возведения сократили и записали бы как 1/5, то после возведения у нас получилась бы дробь 1/3125, которую потом переводить в десятичную делением «уголком» – не подарок. Поэтому и не делаем лишней работы. :)
Степень в степени.
Ну, и последнее правило действий со степенями, которое у нас осталось и которое надо хорошенько запомнить - это возведение степени в степень.
Итак, пусть у нас есть какое-то число a. Возведём его в квадрат. Получим a2. А теперь возведём это самое a2 ещё и в куб.
Получим вот такую злую конструкцию: (a2)3.
Что она означает? Она означает, по-русски, квадрат в кубе. Или, по-математически, степень в степени: мы возводим квадрат числа a в куб.
Как это сделать? Да, точно так же, как и обычно - умножим выражение a2 само на себя три раза. Вот так:
(a2)3 = a2·a2·a2
А вот теперь вспоминаем правило перемножения степеней с одинаковым основанием (самое первое правило).
Получим:
(a2)3 = a2+2+2 = a6
А теперь - разберёмся, как мы в данном примере получили шестёрку в показателе. Мы сложили три одинаковых показателя при перемножении трёх одинаковых степеней. Иначе говоря, мы просто перемножили показатели, умножив два (внутренний показатель) на три (внешний показатель). Ведь можно же записать наше выражение вот так:
(a2)3 = a2+2+2 = a2·3 = a6
И так будет получаться всегда при возведении любой степени в степень.
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:
(am)n = amn
Применение данного свойства слева направо даёт нам возможность в уме возводить степень в степень и упрощать всевозможные выражения со степенями:
(4x3y5)2 = 42·(x3)2·(y5)2 = 16x6y10.
А вот обратное применение формулы (справа налево) резко расширяет наши математические возможности. А именно — оно позволяет представлять какое-либо выражение в виде степени другого выражения. А это, между прочим, поважнее простого возведения в степень будет. Сомневаетесь? Зря. Когда познакомитесь с разложением многочленов на множители и упрощением дробно-рациональных выражений, то этот приём вы ещё не раз вспомните.
Например, такое задание (для тех, кто повторяет):
Разложить на множители по формуле разности квадратов:
64x6 — y12
Если не уметь представлять отдельные выражения в виде степеней, то пример не решить, да. А вот, если представить 64x6 как (8x3)2, а y12 представить как (y6)2, то сработает формула разности квадратов. Кто в теме, тот запросто дорешает пример.
Или вот такой навороченный пример, для старшеньких:
Сократить дробь:
Здесь то же самое выражение 64x6 — y12 следует рассматривать уже как разность кубов:
64x6 — y12 = (4x2)3 — (y4)3
Если теперь воспользоваться формулой разности кубов, да разложить числитель на множители, то вся наша жуткая дробь славненько сократится и упростится:
= 4x2 — y4.
Эффект здоровский, правда? Если уметь какое-либо выражение превращать в степень. При необходимости.)
Итак, с возведением в степень мы разобрались. Работать со степенями — научились. А теперь — делаем несложные задания. А вы как думали?
Найдите значение выражения:
Вычислите:
Представьте в виде степени:
Упростите выражение:
Ответы (в беспорядке): y; 84; a3n; (-4)10; 0,49; -x7; 1; (-xyz)7; -1/32; cn-1; x7; c30; (-2ab)5; -0,0016; a15; y10-n; 1; 0,0081; (0,1ab)4; -8; 27/125; an+2; 512; 0,96; (0,3abc)3; y5; -81; 125/27.
Всё получилось? Поздравляю! Значит, вы поняли, что такое степень и как с ней работать. Не всё получилось? Следим за знаками! :) И сокращать не забываем.