Сумма n первых членов арифметической прогрессии — штука довольно простая и понятная. Как по смыслу, так и по формуле. Но задания на эту тему встречаются самые разные. От примитивных до вполне себе серьёзных. Имеет смысл разобраться, правда?)
Очень часто во всевозможных задачках на арифметическую прогрессию требуется найти сумму некоторого количества её членов. Если этих самых членов мало, то складывать, конечно, и безо всяких формул можно. А вот если много, то сложение "вручную" уже напрягает, да… В этих случаях и выручает формула.)
Итак, вот она, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Для начала, как водится, разберёмся с названием и со смыслом формулы суммы. А потом и задачки порешаем. В своё удовольствие.)
Ключевыми словами в названии формулы являются слова "n первых членов". Эти слова всего лишь означают, что берётся последовательность
(an): a1, a2, a3, a4, a5, …, an
и аккуратно суммируются (т.е. складываются) все её члены. С первого члена (a1) по последний (an). Причём складываются именно все члены подряд, без пропусков! Это важно.
Смысл формулы суммы прост до неприличия. Эта формула позволяет легко и быстро находить сумму любого количества членов любой арифметической прогрессии с первого по n-й. Не складывая все числа по порядочку.)
А теперь, традиционно, разбираемся со всеми буковками и символами, сидящими в формуле. Это очень многое прояснит.
Sn — та самая сумма n первых членов, которую мы ищем. Результат сложения всех членов арифметической прогрессии с первого по последний. Ещё раз напоминаю, что сумма считается именно (и только) с первого члена. Дело всё в том, что частенько встречаются задачки типа: "найти сумму пятого и восьмого членов". Или: "найти сумму всех членов с десятого по тридцатый". В таких задачках прямое применение формулы суммы не катит, да…)
a1 — первый член прогрессии. Здесь, думаю, комментарии излишни.)
an — последний член прогрессии. Под номером n. Да, не очень привычное название, но для работы с суммой — очень удобное.) Что это такое — об этом ниже.
n — номер последнего члена.
Вот и всё. Все обозначения расшифрованы. Осталось лишь разобраться, что же такое последний член.
Для начала задам такой хитрый вопрос: как вы думаете, какой член будет последним, если нам дана бесконечная арифметическая прогрессия? Ответ очевиден: никакой.) Какой бы член an и с каким бы номером n мы ни взяли, для него всегда найдётся следующий, (n+1)-й член.
Поэтому говорить о конкретной конечной сумме для бесконечной арифметической прогрессии (с бесконечным числом членов) попросту нету никакого смысла. Не существует такой суммы. Бесконечная она… Кстати, в отличие от геометрической прогрессии, сумму бесконечного числа членов которой, в некоторых случаях, найти… можно.) Но о геометрической прогрессии и о такой интересной бесконечной сумме — в соответствующих уроках.)
Короче говоря, когда мы имеем дело с суммой арифметической прогрессии, то нам всегда требуется некоторый конечный член. Тот член, на котором следует остановиться. Которым следует ограничиться. Чтобы не складывать все члены до бесконечности.) Вот именно этот граничный член an — и есть последний член прогрессии. И все дела.)
Номер этого самого последнего члена (т.е. n) определяется исключительно заданием. Либо он указан в условии прямым текстом, либо же косвенно, в зашифрованном виде.) А составители заданий, порой, шифруют эту ценную информацию (последний член и номер последнего члена) с безграничной фантазией, да…) Для грамотной расшифровки надо, во-первых, понимать смысл арифметической прогрессии, во-вторых, не бояться и думать головой и… внимательно читать задание.) Иначе — никак. Чуть ниже, в конкретных задачках мы все эти секреты пораскрываем.
Как выводится формула суммы?
Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии хоть и прост, но весьма оригинален по сравнению с выводом формулы n-го члена.) Для этого придётся нам запустить машину времени и плавно переместиться… нет, не в будущее.) Мы переместимся в Германию конца XVIII века. Жил-был в то время великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Король математики! Одарённость его просто не знала границ!
Так вот, согласно легенде, когда Гаусс был ещё школьником, учитель дал детям задание. Скучно им, видите ли, было на уроке… А именно — посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Для всего класса это задание и впрямь оказалось работёнкой не из лёгких. На целый урок.) Но… только не для юного вундеркинда Гаусса с его нестандартным мышлением.) Как он выкрутился? Он заметил, что попарные суммы чисел с противоположных концов всегда одинаковы: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 и так далее.) Всего таких попарных сумм, очевидно, будет 50. Рассуждая таким образом, Гаусс, к удивлению учителя, дал верный ответ за полминуты:
1+2+3+…+100 = 50·101 = 5050
И всё! Здорово, правда?)
Для вывода нашей формулы, мы поступим так же мудро, как и Гаусс. По такому же принципу. Смотрите, сейчас интересно будет! Запишем сначала нашу прогрессию (an) в виде прямой последовательности:
a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an.
А теперь запишем эту же прогрессию, но в виде обратной последовательности. Член an будет на первом месте, а a1 — на последнем.
Вот так:
an, an-1, an-2, …, a3, a2, a1.
А теперь (внимание!) берём и попарно складываем между собой члены обеих последовательностей — прямой и обратной.
Вот так:
Получаем ровно "n" попарных сумм. Как вы думаете, что в итоге мы получим, если сложим между собой все эти n сумм? Очевидно, нужную нам сумму n первых членов арифметической прогрессии Sn, но… удвоенную. Что правда то правда: сначала мы складываем все члены с 1-го по n-й, а затем — наоборот. И, если сложить оба результата, то получим, как раз, удвоенную сумму членов с 1-го по n-й. То есть, 2Sn.
Можно смело записать:
2Sn = (а1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)
А теперь разберёмся со всеми "лишними" скобочками и буковками. Сейчас будет ещё интереснее!
Как вы уже, возможно, заметили, скобки, стоящие в сумме на одинаковых местах с начала и с конца, совершенно одинаковые! Только слагаемые переставлены местами.) Первые и последние скобки мы трогать не будем. Посмотрим, что получается во вторых и предпоследних скобках. Для этого представим a2 как a1+d, а an-1 представим как an-d. Прямо по смыслу арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d
an-1 = an — d
Подставим это добро во вторую (и предпоследнюю) скобки. Что получим:
(a2+an-1) = (an-1+a2) = a1 + d + an — d = a1 + an
Рассуждая аналогичным образом, для третьих скобок с начала и с конца мы получим:
(a3+an-2) = (an-2+a3) = a1 + 2d + an — 2d = a1 + an
Ну как? Улавливаете идею? Да! Каждая из попарных сумм членов, стоящих на одинаковых местах с начала и с конца в нашей общей сумме 2Sn, всегда будет одна и та же. И равна a1 + an. То есть, сумме первого и последнего членов. А всего таких попарных сумм у нас сколько? Правильно, "n" штук! Столько же, сколько и членов в прогрессии, да…) Не зря же я картинки рисую иногда.
Вот и пишем:
2Sn = (а1+an)·n
Выражая из этого равенства Sn, получаем требуемую формулу:
Вот и всё.)
Ну что, со смыслом формулы разобрались. С выводом — тоже. Я вижу, вам уже не терпится начать решать задачки. Что ж, поехали!
Решение задач на сумму арифметической прогрессии.
Начнём с несложной задачки. Безо всяких фокусов.)
1. Дана арифметическая прогрессия:
24; 23,2; 22,4; 21,6; …
Найти сумму первых ста её членов.
Прогрессия нам задана в виде последовательности. Можно, конечно, уловить закономерность, продлить эту последовательность, выписать первые сто её членов, сложить их да посчитать, но… как-то тупо и долго получается, не находите? Но мы же с вами народ учёный. Формулу суммы знаем.) Вот и запустим её в дело.
Сразу пишем формулу суммы:
А теперь смотрим на формулу и соображаем, какие элементы формулы нам даны, а чего не хватает.
Первый член a1 известен? Да! Это 24. А последний член an? Пока нет… Но… зато нам известен его номер n! Это 100 (n = 100). В задании прямым текстом сказано: найти сумму первых ста членов. Стало быть, последним членом прогрессии будет сотый член a100. И как его отыскать? Считать и выписывать сто членов? Зачем!?) Ведь мы же не слепые, глазками последовательность видим, а смысл арифметической прогрессии - понимаем.
Стало быть, можем посчитать разность прогрессии и затем найти интересующий нас сотый член по формуле n-го члена:
an = a1 + (n-1)·d
Вот и трудимся. Для разности d берём любой член последовательности (кроме первого) и отнимаем предыдущий.
ЕЩЁ РАЗ ВНИМАНИЕ!!! Не просто считаем разницу между большим и меньшим соседними членами (типа 23,2-22,4), а именно от выбранного члена (23,2) отнимаем предыдущий (24)!
Почему ругаюсь? Потому что это весьма и весьма распространённые грабли, на которые наступает значительная часть учеников, теряя драгоценные баллы на контрольных и экзаменах и получая заслуженные минусы. Особенно часто этот косяк встречается в убывающих прогрессиях и в прогрессиях с отрицательными членами.
Вот и считаем правильно. Например, так:
d = 23,2 — 24 = -0,8
Вот так. Разность — отрицательна. Прогрессия — убывает. Как и в задании.)
Считаем сотый член по формуле n-го члена:
a100 = a1 + (-0,8)·(100-1) = 24-0,8·99 = -55,2
Есть. Мы выяснили все интересующие нас параметры в формуле суммы. Осталось подставить их да посчитать:
Ответ: -1560
Кстати сказать, если подставить в формулу суммы вместо an его выражение через формулу n-го члена, то получим:
Или, если привести подобные в числителе:
Эта формула — тоже формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Только записанная в другом виде — через первый член и разность прогрессии. В некоторых задачках эта модифицированная формула здорово выручает, да.) Имеет смысл запомнить. Или, в случае чего, уметь вывести, как здесь. Ведь формулу n-го члена в любом случае надо помнить.)
Следующая задачка. На основе реального варианта ОГЭ:
2. Арифметическая прогрессия задана условием: an = -3 + 5n. Найдите сумму первых двадцати её членов.
Хорошая задачка. Лёгкая.) Настолько лёгкая, что народ тут же косячит… НЕ НАДО писать сразу, что первый член — минус три! Это фатальное заблуждение, да… Ибо прогрессия нам задана видоизменённой формулой n-го члена. Как работать с такой формулой, подробно рассказано по ссылке. Кто не в курсе — кликаем и читаем.) Кто в курсе, делаем всё как положено. А именно — подставляем в формулу вместо n единичку и считаем:
a1 = -3+5·1 = 2
Вот так вот. Первый член — двойка, а не минус три…
Что там нам ещё нужно для суммы? Последний член и номер последнего члена? Пожалуйста! Нас спрашивают про сумму двадцати первых членов. Стало быть, в качестве последнего члена у нас будет выступать a20, а номером n последнего члена будет, знамо дело, двадцатка.
Вот и считаем a20 подставляя n = 20 в формулу n-го члена:
a20 = -3+5·20 = 97
А теперь уже считаем нужную нам сумму:
Ответ: 990
А теперь задачка более творческая. :)
3. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных четырём.
Во! Ни первого члена нет, ни последнего, ни номера n, ни прогрессии вообще… Что делать?!
Что-что… Головой думать, да.) И вытаскивать из условия задачи все элементы формулы суммы арифметической прогрессии. Ибо здесь, как раз, тот самый случай, когда ключевые параметры прогрессии в условии ловко зашифрованы.
Вот и начинаем расшифровку. Что такое натуральные числа — знаем. То есть, целые положительные. Что такое двузначные числа — тоже знаем. Ну, те, что из двух циферок состоят.) Какое же двузначное число будет первым? 10, ясное дело.) А последнее двузначное число? Очевидно, 99. За ним уже трёхзначные числа пойдут…
Идём дальше. Кратные четырём… Это что значит? Это значит, делящиеся на четыре нацело! Десятка делится на четыре? Не делится! 11 — тоже не делится. 12… делится! Если ещё немного подумать, то можно сообразить, что последнее такое число будет 96. Отлично! Очень многое проясняется! Теперь уже можно записать последовательность по условию задачки:
12, 16, 20, …, 92, 96.
Будет эта последовательность арифметической прогрессией? А как же! Каждый член отличается от предыдущего строго на четвёрку. Если к члену прибавить, скажем, 3 или 5, то новое число уже не поделится нацело на 4.
Сразу же можем и разность прогрессии посчитать:
d = 4
Пригодится.)
Ну вот. Теперь мы уже с вами знаем кое-какие параметры прогрессии:
a1 = 12
d = 4
an = 96
А каков будет номер n последнего члена 96? А вот тут два пути решения. Первый путь — для сверхтрудолюбивых, но некультурных. Можно расписать всю прогрессию да посчитать пальчиком количество членов. А второй путь — для ленивых, зато культурных.) Я отношусь к ленивым, поэтому выберу второе. А именно — распишу последний член прогрессии (т.е. 96) по формуле n-го члена, подставляя уже известные нам данные:
96 = a1 + d(n-1)
96 = 12 + 4(n-1)
4(n-1) = 84
n-1 = 21
n = 22
Вот так. Значит, число 96 — это двадцать второй член нашей прогрессии.
А теперь смотрим на формулу суммы:
Смотрим и… прыгаем от радости!) Ибо мы вытащили из условия задачи все необходимые данные для подсчёта требуемой суммы. Незаметно для себя. Вот они:
a1 = 12
a22 = 96
n = 22
Sn = S22
Осталось лишь подставить да посчитать:
Ответ: 1188
Рассмотрим теперь ещё один тип популярных задачек. На первый взгляд, всё очень похоже, да не совсем…)
4. Дана арифметическая прогрессия:
-30; -29,3; -28,6; …
Найдите сумму членов с 42-го по 101-й.
И как вам? Прямое применение формулы суммы разочарует. Напоминаю, что формула считает сумму только с первого члена. А в нашей задаче надо считать сумму с сорок второго… Тупик? Ну да, щас!)
Можно, конечно, расписать всю прогрессию до 101-го члена и посчитать столбиком на бумажке все члены с 42-го по 101-й. Но возьмутся за это увлекательное занятие только откровенные мазохисты, да…)
Мы же поступим просто и элегантно.) А именно - разобьём нашу прогрессию на две части. Первая часть будет с первого члена по 41-й. А вторая часть — с 42-го члена по 101-й. Ясно, что если мы посчитаем сумму членов первой части S1-41 и сложим её с суммой членов второй части S42-101, то получим сумму членов прогрессии с первого по сто первый S1-101.
В математической записи:
S1-41 + S42-101 = S1-101
Из этого равенства видно, что найти нужную нам сумму S42-101 можно простым вычитанием:
S42-101 = S1-101 - S1-41
Вот теперь всё встало на свои места! Обе суммы справа считаются с первого члена. Стало быть, к ним уже применима наша стандартная формула суммы. Ну что, начнём?
Первым делом вытаскиваем из условия задачи ключевые параметры прогрессии:
a1 = -30
d = 0,7
Кроме того, для расчёта сумм S1-41 и S1-101 нам понадобятся 41-й и 101-й члены. Считаем их по формуле n-го члена:
a41 = a1+40d = -30+40·0,7 = -30+28 = -2
a101 = a1+100d = -30+100·0,7 = -30+70 = 40
Теперь считаем суммы S1-41 и S1-101 по формуле:
Остались сущие пустяки. От суммы 101 члена отнять сумму 41 члена:
S42-101 = S1-101 - S1-41 = 505 — (-656) = 1161
Ответ: 1161
Вот и всё.) Обратите внимание на одну очень полезную фишку. Вместо прямого расчёта того что нам нужно (S42-101), мы вычислили то, что, казалось бы, совершенно не нужно (S1-41). А уже потом посчитали и S42-101, отбросив от полного результата ненужное. В злых задачках такой искусный манёвр очень часто спасает.)
В этом небольшом уроке мы рассмотрели задачки, для успешного решения которых достаточно понимать смысл суммы n первых членов арифметической. Ну и парочку формул знать надо, да.)
Подытожим наш урок практическим советом:
При решении любой задачи на сумму членов арифметической прогрессии настоятельно рекомендую выписать две ключевые формулы.
Формулу n-го члена:
an = a1 + (n-1)·d
Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Эти две формулы обязательно подскажут, что именно надо делать, в каком направлении двигаться, чтобы справиться с задачей. Проверено! Помогает.
А теперь решаем самостоятельно.
1. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые не делятся нацело на четыре.
Что, круто, да?) Подсказка спрятана в комментарии к последней разобранной задаче №4. Ну и результат предпоследней задачки №3 поможет.)
2. Арифметическая прогрессия задана условиями:
a1 = -3,1
an+1 = an+0,9
Найдите сумму первых 19 её членов.
Да-да, это рекуррентная формула, которую многие так не любят. Задачки с такой формулой мы в этом уроке не рассматривали. А чего их рассматривать? Их решать надо.) Материала этого урока вполне достаточно, чтобы справиться с заданием. Про рекуррентную формулу и как именно с ней работать можно прочитать в предыдущем уроке. Не пренебрегайте этой задачкой, такие частенько встречаются в ОГЭ!
3. Марфуша была сладкоежкой и очень любила пирожные с кремом и шоколадной глазурью. Каждое пирожное стоит 60 рублей. Накопив 2700 рублей, Марфуша решила устроить себе сладкую жизнь: в первый день купить и съесть всего одно пирожное, а в каждый последующий день покупать и съедать на одно пирожное больше. Пока не истратит всю накопленную заначку.
а) сколько пирожных в итоге купила и съела Марфуша?
б) сколько дней сладкой жизни получилось у Марфуши?
Сложно? Поможет дополнительная формула суммы из разобранной задачи №1. Ну и решение квадратных уравнений тоже надо вспомнить, да.)
Ответы (в беспорядке): 9; 95; 45; 3717.