Для начала неплохо бы разобраться, что же такое неравенство вообще, как оно устроено и что с ним можно (и нужно) делать. Разбираемся?
Итак…
Что такое неравенство?
Говоря простым языком, берём любое уравнение и значок "=" (равно) заменяем на другой значок (>, <, ≥, ≤, ≠). Вот и получается — неравенство.
Уравнения бывают всякими — линейными, квадратными, дробными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими, иррациональными и т.д.
Соответственно, и неравенства также бывают линейные, квадратные и… в общем, всякие.)
Теперь поговорим о значках неравенств. Что о них нужно знать? Неравенства со значками ">" (больше) или "<" (меньше) называются строгими. Неравенства со значками "≥" (больше или равно) или "≤" (меньше или равно) называются нестрогими. Значок "≠" (не равно) стоит особняком, но неравенства с таким значком приходится решать постоянно. И мы обязательно порешаем.)
Сам значок обычно не оказывает существенного влияния на ход решения. Зато в самом конце решения, при оформлении окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! В чём мы с вами и убедимся на конкретных примерах.
Что ещё нужно знать о неравенствах? Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё предельно ясно. Например, 2>1 — верное неравенство. А вот неравенство 2<1 — неверное.
Неравенства — ближайшие родственники уравнений. Стало быть, проблемы при решении уравнений будут автоматически приводить к полному провалу и в неравенствах. Срочно повторите решение основных типов уравнений, у кого проблемы! Я серьёзно.) Иначе в неравенствах будете тормозить нещадно… И не надейтесь, что при изложении, скажем, материала по решению квадратных неравенств я буду отдельно разжёвывать, что такое дискриминант или как рисовать график параболы.) Прошу быть к этому готовыми! Так что по ссылочкам-то гуляйте, гуляйте.)
Зачем нужны неравенства?
Вопрос резонный. Затем же, зачем нам нужны и уравнения. Для жизни.)
В обычной жизни неравенства вы видите повсюду. Причём не только видите, но и… решаете их! Сами того не замечая. Сомневаетесь?) Пожалуйста! Вот вам зашифрованные житейские примеры неравенств. Хранение при такой-то температуре (скажем, от 0°С до +25°С) — неравенство. Штраф за превышение скорости — неравенство. Распределение призовых мест в соревновании — тоже неравенство. Срок действия проездного на метро — неравенство. Опоздание на урок (поезд, самолёт) — и тут неравенство!
Одним словом, с неравенствами мы с вами сталкиваемся всякий раз, как только нам нужно оценивать или сравнивать какие-то величины. Совершенно любые. Это может быть температура в помещении, скорость автомобиля, время в пути, расходы в магазине, баланс денег на телефоне, рост, вес — да всё что угодно. Всё что мы можем выразить числом, как-то количественно оценить или с чем-то сравнить, приводит нас к понятию неравенства. Верного или неверного.)
Как решать неравенства?
Решение любого неравенства состоит из двух ключевых пунктов.
Это:
1. Тождественные преобразования неравенств.
2. Работа с числовой прямой.
Оба эти пункта — основы. Каждый из них одинаково важен. Если есть проблемы хотя бы в одном из них, то попытка решения любого, даже самого простенького неравенства, обречена на провал. Оно нам надо? Согласен, не надо.
Про первый пункт (тождественные преобразования) подробненько поговорим в этом уроке. Тут всё просто. Второй пункт (работа с числовой осью) поинтереснее будет. Его рассмотрим в следующем уроке.
Итак, вникаем.
Разные типы неравенств (линейные, квадратные, дробные, показательные, тригонометрические, иррациональные и т.д.) решаются по-разному. На каждый тип - свой собственный способ, свой специальный приём. Но! Все эти специальные приёмы применимы только к некоторому, так называемому стандартному виду неравенства. Т.е. неравенство любого типа первым делом нужно подготовить к применению своего способа.
Такая подготовка работает для неравенств любого вида. Работает безотказно. И проста до безобразия.) Нужно, всего-навсего, правильно выполнять два (всего два!) элементарных базовых преобразования. Эти преобразования знакомы каждому. Но, что характерно, ляпы в этих самых преобразованиях - и есть основная проблема в решении неравенств, да… Стало быть, надо освоить эти преобразования. Называются они вот как:
Тождественные преобразования неравенств.
Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, именно в этом и таится основная засада в решении неравенств! Отличия проскакивают мимо головы и… приплыли.) Поэтому я особо выделю эти отличия.
Итак:
1. Первое тождественное преобразование неравенств:
К обеим частям неравенства можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Знак неравенства от этого не изменится.
На практике это преобразование выглядит как знакомый всем старый добрый перенос членов из одной части неравенства в другую со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Знак самого неравенства сохраняется.
Например, надо решить такое линейное неравенство:
5x — 3 < 4х + 2
Тут и думать нечего, вспоминаем нашу мантру - "с иксами влево, без иксов — вправо…"
И действуем:
5х — 4х < 2 + 3
Знак неравенства при переносе не трогаем!
Осталось слева привести подобные, а справа посчитать. Получим:
x < 5
Это правильный ответ.
Если вы — новичок и пока не знаете, как решать линейные неравенства, не беда. В отдельном уроке порешаем. Я сейчас не об этом. А о том, что первое тождественное преобразование неравенств полностью совпадает с аналогичным преобразованием для уравнений! Один в один. А вот второе тождественное преобразование в неравенствах резко отличается от такового в уравнениях. К нему и переходим.
2. Второе тождественное преобразование неравенств:
2.1. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное число. Знак неравенства при этом сохраняется.
2.2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
Вы ведь помните, что уравнение мы имеем право умножать или делить на что попало. И на число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого хоть бы хны. Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.
Вот вам наглядный пример на долгую память. Возьмём неравенство, не вызывающее сомнений:
3>2
Умножим обе части на положительное число +2, получим:
6>4
Возражения есть? Нету. А теперь умножим обе части на отрицательное число -2, получим:
-6>-4
А вот это уже откровенная ахинея! Бред! Ибо минус шесть никак не больше минус четырёх. Но… стоит только изменить знак неравенства на противоположный, как всё сразу становится на свои места:
-6<-4
Про бред и ахинею я не просто так ругаюсь. "Забыл(а) сменить знак неравенства…" – это самая распространённая ошибка в решении неравенств. Именно на этом несложном преобразовании столько учеников сыпется! Которые забывают… Вот и ругаюсь. Авось, запомнится…)
Самые внимательные, возможно, уже заметили, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Что ж, респект, как говорится.) А почему нельзя, как вы думаете? Очень просто. Мы же ничего не знаем про знак этого самого выражения с иксом! Оно может быть положительным, может быть отрицательным. Следовательно, мы понятия не имеем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его или нет? Непонятно… Конечно, это ограничение (запрет на умножение/деление неравенства на выражение с иксом) можно и обойти. Если очень уж припрёт.) Но это — отдельная тема.
Зачем нужно второе преобразование? Да всё за тем же, зачем оно нужно и в уравнениях! Избавляться от коэффициентов. На которые, напоминаю, перенос влево-вправо не распространяется. Например, что-нибудь крутое типа:
9-3х > 0
С девяткой-то всё ясно. Переносим вправо по первому преобразованию, получаем:
-3х > -9
Знак неравенства сохраняется!
А вот теперь соображаем, что в ответе нас всегда интересует чистый икс. А тройка с минусом — мешает. Вот тут-то нам и нужно второе преобразование! Делим, как в уравнениях, обе части на -3. Внимание! Делим на отрицательное число!
Знак неравенства меняется на противоположный!
Получаем:
x < 3
Это ответ.)
Ещё раз. В этом уроке мы с вами пока что не решаем неравенства. Мы всего лишь тренируемся правильно применять базовые преобразования! Просто на конкретных примерах гораздо нагляднее демонстрировать сам процесс.) Стало быть, если запись окончательного ответа x<3 пока что кажется вам полной китайщиной, не страшно. Совсем скоро мы с вами начнём тренироваться на кошках конкретных типах неравенств (с иксами, да…) — и все эти буковки и значки обретут смысл.
Итак, с первым пунктом — тождественными преобразованиями — разобрались (надеюсь…). Но для успешного решения неравенств одних только тождественных преобразований, чаще всего, недостаточно. Именно этим неравенства и отличаются от уравнений. Поэтому пора переходить ко второму пункту. К работе с числовой осью.
Об этом — в следующей теме.