Итак, друзья, продолжаем знакомиться с типовыми заменами при вычислении неопределённых интегралов. В прошлый раз мы познакомились с наиболее часто употребляемой степенной заменой, усвоили, как и где именно она применяется, порешали несложные примеры с корнями. Суть степенной замены заключалась в том, что старая переменная интегрирования икс заменялась степенной функцией от новой переменной t. И после такой замены у нас пропадали все корни.
В этом уроке речь пойдёт о так называемой тригонометрической замене. Суть её тоже очень простая и заключается в следующем: старая переменная икс заменяется на некоторую… тригонометрическую функцию от t. Да-да! Всего возможно четыре варианта:
Параметр а — некоторая положительная константа. Зачем она там нужна, станет ясно чуть ниже. На примерах.)
А теперь будем разбираться, где именно применяется такая замена и что она нам даёт. Заодно и элементарную тригонометрию повторим. :)
Тригонометрическая замена, так же, как и степенная, применяется при интегрировании некоторых функций с корнями. Только, в отличие от степенной замены, для тригонометрической есть два важных условия её применения:
1) Подынтегральная функция содержит квадратный (и только квадратный!) корень;
2) Под корнем стоит квадратичная конструкция вида a2±x2.
Иными словами, в сегодняшнем уроке речь пойдёт о вычислении интегралов, содержащих вот такие корни:
Для плюса и для минуса используется своя замена. Вот вам небольшая сводная табличка:
Выбирать можно любую из предложенных подстановок: для минуса хоть синус, хоть косинус, а для плюса — либо тангенс, либо котангенс. Что больше нравится. :)
Суть тригонометрической замены полностью аналогична — убрать корень. То есть, добиться того, чтобы под корнем получился точный квадрат и корень извлекался начисто. И, тем самым, исчез из примера.)
Как же это происходит? Для полного понимания нам понадобится три до боли знакомых школьных тождества:
А теперь возьмём какой-нибудь из корней (пусть первый корень, с минусом в подкоренном выражении) и подставим в него нашу замену (допустим, с синусом a·sin t). Что у нас получится:
Для корня с плюсом проделаем всё то же самое, но на примере подстановки с тангенсом:
Вот и вся суть. Был корень — и нету корня! Возможно, кто-то хмыкнет скептически: какая, мол, разница, корень под интегралом или тригонометрия?! Хрен редьки не слаще… А в чём-то тригонометрия даже и похуже корней будет!
Что ж, настало время удивить скептиков. На примерах.) Итак, начнём!
Пример 1
Подынтегральная функция содержит корень вида
Число а у нас — двойка: 4 = 22. Раз под корнем минус, то используем замену либо с синусом, либо с косинусом. Давайте, с косинусом возьмём. Для разнообразия.)
Итак, замена: x = 2cos t
Сразу же можно выразить само t, а также dx:
А теперь, используя нашу замену, упрощаем сам корень, который нам так мешает:
Вот и отлично. Корня больше нет. Теперь посмотрим, что же у нас получится под интегралом после такой замены:
И как вам? Был интеграл от ужасного корня, а после замены стал табличный (!) интеграл. От косинуса, правда, ну и что в этом страшного? :)
Осталось лишь вернуться обратно к переменной икс и записать ответ. Только я не буду сейчас тупо в лоб считать что-то типа
а сразу найду синус t из равенства, где мы упрощали наш корень:
Всё. Подставляем это выражение в наш результат вместо sin t и окончательно получаем:
И все дела.) Да-да, вот такой вот простенький ответ у этого примера.) Можете даже в уме его продифференцировать и получить подынтегральную функцию. :)
Особо глазастые студенты при первом взгляде на пример, возможно, узрели вот такую взаимосвязь:
Что ж, респект глазастым! :) Да, действительно, если внести подкоренное выражение 4-х2 под дифференциал, то пример элементарно сведётся к табличной степенной функции:
Можно так интегрировать? А почему — нет? Математика не запрещает. Но нам ведь размяться с тригонометрической заменой нужно! Вот и изучаем на несложном примере. :)
А теперь пример посложнее. Поменяем местами в нашей подынтегральной функции числитель и знаменатель. То есть, просто перевернём подынтегральную функцию. Вот такой пример будем решать:
Пример 2
Давайте, в этот раз используем замену с синусом. Сразу пишем:
И теперь, после подстановки, наш новый интеграл стал выглядеть вот так:
Что делать дальше? Главное — не бояться! И смекалки немного. :)
Вообще говоря, на такого рода функции есть свой приём интегрирования (тоже замена, кстати), но мы пока сделаем вид, что про неё не знаем. :) И попробуем выкрутиться с помощью элементарных преобразований, которые мы с вами уже знаем. )
Что здесь можно сделать? Ну, напрашивается подведение под дифференциал, ибо в дроби сидят синус и косинус — родственнички по производной.) Для этого надо попробовать преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы везде осталась одна функция — либо синус, либо косинус. Здесь можно всё свести к косинусу. Смотрите, как это делается! По пунктам:
1. Умножаем числитель и знаменатель дроби (вместе с dt!) на sin t. Что именно это даст — узнаем дальше.
2. Заменяем в знаменателе sin2t на 1-cos2t. Согласно основному тригонометрическому тождеству, ага. :)
3. Замечаем, что
и подводим косинус под знак дифференциала (про минус тоже не забываем, да).
Вот так. Теперь всё подынтегральное выражение у нас сведено к косинусу. Я согласен, что ещё надо было додуматься домножить всё на sin t, чтобы выйти на такую комбинацию. Но тут уже только богатый опыт рулит. Такое чутьё приходит только с практикой. Так что — решайте примеры! Чем больше, тем лучше.)
Итак, теперь смело заменяем косинус новой буквой. Тэ у нас уже использовано, пусть зэт будет:
Выражаем наш интеграл теперь уже через переменную z:
А теперь в дело вступает наш старый добрый излюбленный приёмчик — отнять/прибавить единичку. :) Продолжаем:
Единичка, я надеюсь, ни у кого проблем в интегрировании не вызывает? А что же касается дроби 1/(z2-1), то это не что иное, как табличный интеграл! Открывайте нашу таблицу и ищите похожую формулу. Это седьмая формула, с «высоким» логарифмом:
В роли «а» у нас выступает единичка. Возвращаемся к нашим баранам:
Что ж, заготовка для ответа получена. Теперь поэтапно возвращаемся обратно к иксу:
Итого, окончательно:
Вот такой вот интересный пример. И довольно красивый ответ.)
Маньяки могут его продифференцировать. Я продифференцировал. Всё гуд.)
Продолжаем развлекаться. :) Теперь вообще уберём знаменатель и решим вот такой примерчик:
Пример 3
Под интегралом теперь стоит просто чистый корень, безо всего. И тут тоже на помощь придёт тригонометрическая замена.) Давайте, снова будем всё выражать через синус, ибо он удобнее: минус лишний не всплывает, который легко потерять. Действуем:
Как теперь быть с косинусом в квадрате? Если в прошлом примере нам пришлось домножать всё на синус, то тут всё гораздо проще. Призываем на помощь школьную тригонометрию! На сей раз — формулы понижения степени. А чуть конкретнее — вот эту:
И после такого преобразования наш интеграл легко превращается в сумму табличных (ну, или почти табличных :)):
Надеюсь, особо не нужно комментировать, как именно при интегрировании получился синус двух t? Кто не понял — читаем урок «Подведение функции под знак дифференциала». Там всё популярно изложено. :)
Всё. «Рыба» для ответа готова. Осталось правильно перейти к иксу да подставить вместо t в выражения 2t и sin 2t.
Прежде всего, выясним из нашей замены, что же такое это самое t:
Теперь раскроем синус двойного угла: sin2t = 2sin t·cos t
Зачем так сделано? А затем, что теперь и синус и косинус легко выражаются через x (смотрим синюю табличку с нашей заменой)! Вот так:
И теперь наш окончательный ответ полностью готов:
Ну как? Да, я согласен, не самые простые примеры. Так и мы с вами уже всё-таки на приличном уровне, правда?
Что-то мы всё с синусами да косинусами возимся, а тангенс/котангенс как-то обделили вниманием. Давайте и такой примерчик рассмотрим! На десерт.) Он совсем несложный: хватит с вас жести на сегодня! :) Просто чтобы суть замены уловить.)
Пример 4
Не пугаемся внешнего вида примера! Внешность иногда бывает обманчива, да.)
Сразу замечаем под корнем сумму 1+х2. Раз сумма, то, стало быть, подходящая замена для ликвидации корня — с тангенсом (или котангенсом). Опять же, по причине нежелания возиться с лишним минусом, я выберу тангенс (а = 1, x = tg t):
И снова перед нами безобидный табличный интеграл! Интегрируем косинус и — готово дело:
Всё. Выражаем теперь нашу первообразную через икс. Как? По формулам тригонометрии, вестимо! У нас есть тангенс, а нас интересует синус.
Так. Квадрат косинуса готов. Осталось лишь из основного тригонометрического тождества вытащить квадрат синуса, извлечь корень и — цель достигнута!
Вот и наш ответ. Довольно простенький на сей раз:
Подытожим наш урок. Давайте разберёмся, зачем в самом начале урока я высказал два обязательных требования, чтобы сам корень был только квадратным (а не кубическим или какой-то более высокой степени), а также чтобы под корнем находилась конструкция вида x2±a2. Догадались, почему?
Да потому, что в любой другой ситуации (кубический корень или же под корнем многочлен более высокой степени) у нас просто-напросто не исчезнет иррациональность, и данная замена нам уже никак не поможет свести интеграл к красивому виду. :) И, если вам, вдруг, попался такой пример, то, скорее всего, преобразования более хитрые.
Разумеется, подобные интегралы не ограничиваются этими четырьмя примерами. И для интегралов, содержащих квадратичные иррациональности, есть и более суровые подстановки — Эйлера и Абеля. Но такие подстановки - уже высший пилотаж в интегрировании. Их мы будем изучать ближе к концу раздела. Зато тщательный разбор этих четырёх примеров даст вам возможность уверенно брать хотя бы некоторые интегралы подобного типа. Так что тригонометрическая замена — штука весьма полезная. Мы с ней дружить будем. :) А для дружбы, конечно же, необходимо хорошо знать школьную тригонометрию — основные тождества (их шесть), двойные углы, формулы понижения степени и т.д.
Что ж, на сегодня хватит. А в качестве тренировочного упражнения в этот раз я дам небольшое творческое задание. Чтобы скучно не было.)
Есть в нашей замечательной табличке интегралов парочка довольно страшных формул. Вот эти:
И теперь, в качестве задания, я предлагаю вам доказать эти формулы! С помощью тригонометрической замены, да.) Чтобы вы прочувствовали, откуда что в математике берётся. И берётся явно не с потолка.)
С первой формулой проблем возникнуть не должно: там всё очевидно. А вот со второй («длинным логарифмом») я немного подскажу. В формуле число А для определённости предполагается положительным. Раз оно положительное, то можно совершенно спокойно заменить это самое А на a2. И дальше работать уже с заменой через тангенс.) Материала этого (и прошлых) уроков вполне достаточно, чтобы одолеть это задание. Будет вам там парочка сюрпризов! Выручат свойства логарифмов и первообразных (это подсказка! :)).
Удачи!