ЗАДАТЬ ВОПРОС

Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?

        Логарифмы – традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно – уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм – это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

        Итак, поехали знакомиться.)

        Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

        2х = 4

        Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате – это четыре.)

        А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        2х = 5

        И снова пробуем подобрать икс…

        Что, никак не подбирается? Два в квадрате – это четыре. Два в кубе – это уже восемь. А у нас – пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

        Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой – уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа – равноправные партнёры.)

        На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс – какое-то дробное число между двойкой (22 = 4) и тройкой (23 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

        Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

        Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

        2х = 5

        Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

        Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log25

        А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму пяти по основанию два."

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х. Запомнить очень легко.)

        Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

        2х = 5

        x = log25

        И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

        Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

        Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

        x = log25 = 2,321928095…

        Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

        Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

        Например, решая показательное уравнение

        3x = 9,

        про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

 

        А вот, решая уравнение, скажем, такое

        3х = 7,

        вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

        х ≈ 1,77124375

        Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

        х = log37.

 

        И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ – посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был – логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

        Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

        Например:

        2х = 13

        Никаких проблем:

        x = log213

 

        5х = 26

        Тоже элементарно!

        x = log526

 

        11x = 0,123

        И тут не вопрос:

        x = log110,123

 

        Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

 

        А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

        Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

        Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

        an = b

        a - основание,

        n - показатель,

        b - собственно сама степень.

        А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

        

       А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

        Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

        

        "Эн" (n) – это число, в которое надо возвести "a", чтобы получить "b". Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма – это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

        Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно – деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей – что первый, что второй – ищется с помощью одной операции - деления.)

 

Простейшие примеры с логарифмами.

        А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

        Скажем, если где-то в уравнении вы получили

        x = log39,

        то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

        х = 2

        А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три – это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

        А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

        Стало быть, log5125 = 3.

 

        Идём дальше.

        log77 = ?

        В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

        Вот вам и ответ: log77 = 1

 

        А вот такой пример как вам?

        log31 = ?

        И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней.) Да! В нулевую! Вот и пишем:

        log31 = 0                       

 

        Уловили принцип? Тогда тренируемся:

        log216 = …

        log464 = …

        log1313 = …

        log3243 = …

        log151 = …

        Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

 

        Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения – надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

        Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

        Решаем вот такой пример:

        log40,25 = ?

        Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

        0,25 = 1/4 = 4-1

        Стало быть, можно смело записать:

        log40,25 = log44-1 = -1.

        И всё.)

 

        Ещё пример:

        log42 = ?

        В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка – это корень квадратный из четырёх:

       

       А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

Поэтому наш логарифм будет равен:

        Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) – в следующем уроке.

        А теперь решаем самостоятельно.

        Вычислить:

        

        Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать