ЗАДАТЬ ВОПРОС

Числовые промежутки - что такое?

        Числовая прямая (или, что то же самое, числовая ось) – понятие нехитрое. Более того, числовая прямая – главный помощник в решении любых заданий с неравенствами! Любых. От примитивных линейных неравенств до сложных показательных или логарифмических неравенств, систем неравенств и метода интервалов. Освоим темку, пока всё просто?)

 

Что такое числовая прямая? Что такое координатная прямая?

        С понятием числовой прямой вы все уже сталкивались, когда изучали такие темы как координаты точек (5-й класс), страшное понятие модуля числа (6-й класс), и особенно когда рисовали графики функций (7-й класс). Вспомним ещё разок?)

        Всё то же самое, ничего нового! Первым делом возьмём и нарисуем в тетрадке самую обычную прямую и дополнительно укажем на ней:

        1) Начало отсчёта или начало координат (точку О);

        2) Положительное направление (стрелочкой);

        3) Масштаб или единицу измерения длины (например, одна тетрадная клетка).

        Вот и всё. Про устройство числовой прямой вы тоже давно в курсе (надеюсь). Но на всякий случай напоминаю. Начало координат всегда соответствует числу 0. Все положительные числа изображаются на положительной полуоси справа от нуля, в направлении стрелочки. А все отрицательныеслева от нуля, на отрицательной полуоси. Большее число всегда располагается правее меньшего, а меньшее – левее большего. Элементарно, Ватсон!)

        Ну хорошо, прямая и прямая. Но почему – числовая? Ответ очевиден. Каждой точке на прямой соответствует какое-то число. Положительное, отрицательное, целое, дробное, иррациональное – какое угодно. Но – число! Поэтому и прямая – числовая. Это число имеет специальное и вполне научное название – координата точки. Отсюда следует, что числовая прямая – и координатная прямая тоже. Вот так. Два термина в одном флаконе.)

        А вот теперь мы с вами колоссально расширяем наши возможности. Начинаем работать с числовой прямой на полную катушку! Готовы?)

 

Что такое числовой промежуток? Виды числовых промежутков.

        В уравнениях было всё просто. Нашли икс, да и записали в ответ. Например, х=2. В неравенствах же ответом обычно служит не одно-два числа, а промежуток. Числовой промежуток. Или даже несколько числовых промежутков. Это и смущает поначалу…) Что это за зверь такой – числовой промежуток?

        Всё элементарно.

        Числовой промежуток – это просто какой-то кусочек числовой прямой. И всё!

 

        Сейчас начинается самое весёлое. Сейчас мы нашу числовую прямую будем пилить.) Пилить не на дрова, а на… числовые промежутки.)

        Вот прям берём числовую прямую и вырезаем из неё какой-то кусочек какими-то точками. Которые, напоминаю, соответствуют каким-то числам. Вот и получаем – числовой промежуток. Разумеется, вырезать конкретный кусочек числовой прямой можно по-разному, да…)

        Соответственно, и числовые промежутки в математике бывают разных видов.

        Вот они, эти виды (подкрашены красным цветом):

        Смотрим на табличку и… мама родная! Какие-то непонятные кружочки (пустые внутри и закрашенные), какой-то странный иероглиф "∞", да ещё и со знаками плюс/минус, круглые и квадратные скобочки.

        Вам и вправду страшно? Возможно… Но сейчас вы увидите, насколько всё просто! Читаем дальше.)

 

        Граничные точки

        Я разгадала знак бесконечность… (Земфира)

        Те точки, которые нам указывают, в каких местах мы выпиливаем кусочек прямой, так и называются - граничные точки. В таблице эти самые граничные точки обозначены буковками a и b. Точка aлевая граница (меньшее число), точка bправая граница (большее число).

        А может ли числовой промежуток в каком-то направлении быть неограниченным?

        А почему – нет? Запросто! Можно распилить числовую прямую не в двух точках, а в какой-то одной точке. И забрать себе одну часть – левую или правую. Бесконечную… Или – луч. Только для обозначения этой бесконечной границы буквы или числа не годятся. Зато есть специальный значок "". Значок этот так и называется – "бесконечность". Очевидно, бесконечность бывает двух видов (точнее, двух знаков) – плюс (+∞) или минус (-∞). В зависимости от того, какой именно луч, какая часть прямой, правая или левая, берётся на дальнейшее рассмотрение.

 

        Кружочки и скобочки…

        Граничная точка – это, как и намекает название, точка, задающая границу числового промежутка. Слева или справа. Естественно, у думающих тут же возникает вполне логичный и важный вопрос: А куда относить саму граничную точку? Включать её в состав промежутка или нет?

        Именно для ответа на этот вопрос нам и служат всякие кружочки и скобочки в обозначениях и на рисунках!

        Запоминаем:

        Если граничная точка в числовой промежуток НЕ ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется НЕЗАКРАШЕННОЙ. Т.е. пустой внутри. В математике такие точки называются выколотыми точками. В обозначениях выколотые точки всегда соседствуют с круглыми скобками "(" или ")".

        Если же граничная точка в числовой промежуток ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется ЗАКРАШЕННОЙ, а в записи обозначается квадратной скобкой "[" или "]".

 

        Вот и вся расшифровка.) Кстати говоря, специальные названия промежутков (луч, отрезок, интервал, полуинтервал) запоминать пока не обязательно. Всё равно поначалу будете путаться. Это для общей эрудиции сделано.) На практике обычно не заморачиваются и говорят "числовой промежуток такой-то…", без уточнения вида – луч, отрезок и т.д. А иногда и совсем кратко – просто "промежуток". Если и вы путаетесь – говорите так же. Не ошибётесь! А спецназвания оставим для старших классов. Но если запомнили (и поняли!) названия промежутков – что ж, только респект!)

        Теперь можно потренироваться в записи и чтении числовых промежутков. Чтобы не мычать… Ну что, потренируемся?

 

Читаем числовые промежутки и рисуем их на оси!

        С чтением и рисованием числовых промежутков обычно никаких проблем нет. Нужно только чётко понимать, что означают все эти скобочки и кружочки, что разбирались в предыдущем параграфе.

        Например, задан числовой промежуток (0; 5].

        Словами эта запись звучит так: числовой промежуток от нуля до пяти, не включая ноль и включая пять.

        Читаем (и пишем) именно в таком порядке – от левой границы до правой.

        Левая граница (т.е. число 0) соседствует с круглой скобкой "(", о чём нам и говорят слова "не включая". Этот факт означает, что число 0 в наш промежуток не входит. Например, число 0,1 входит, и даже 0,000001 – ещё входит. Хоть чуть-чуть, да больше нуля. А вот ровно ноль – уже нет…

        Пятёрка же – напротив, соседствует с квадратной скобкой "]", что говорит нам о том, что сама она также входит в наш промежуток. И отражено словом "включая" в словесной расшифровке.

         А теперь нарисуем наш промежуток на оси. Для этого рисуем числовую прямую и отмечаем на ней граничные точки 0 и 5.

        Вот так:

        

        Заметили разницу между нулём и пятёркой? Ну да, трудно не заметить! ;) Точка 0 изображена белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Или, по-математически, выколотой точкой. Это, как мы с вами уже выяснили, означает, что ноль – не входит в наш промежуток. В отличие от пятёрки, которая входит в промежуток. И на рисунке, соответственно, нарисованной чёрной. Закрашенной.) Я специально точки такими здоровыми изобразил. Чтобы хорошенько врезались в память…

        Итак, мы отметили на оси границы промежутка. Осталось лишь отметить все остальные числа, которые входят в этот промежуток. Вы спросите: Как? Ведь между нулём и пятёркой находится бесконечно много чисел! Это и 1, и 2,5, и 3,14, и 4,9999 и так далее… И что? Все-все отмечать)?

        Нет, конечно. Всё гораздо проще!) Сейчас мы с вами отметим на прямой все интересующие нас числа одним махом! Тут есть два варианта. Вариант первый – штриховка. Просто берём и подштриховываем весь кусочек прямой между 0 и 5.

        Вот так:

        

 

        Вариант второй рассмотрим на следующем примере.

        В этот раз дан промежуток такой: [-3; +∞).

        Для начала читаем словами название промежутка с гордо поднятой головой: Числовой промежуток от минус трёх до плюс бесконечности, включая минус три!

        Вот так. А теперь вопрос на засыпку: почему я оборвал чтение на словах "включая минус три…" и не продолжил мысль гениальными словами "…и не включая плюс бесконечность"?

        Всё очень просто. Бесконечность (что плюс, что минус) не может включаться никогда. Это не число, это – символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой, а в расшифровке говорится просто: "до плюс бесконечности". Или "до минус бесконечности". И всё.

        А теперь всё как обычно, рисуем прямую, отмечаем на ней одну единственную точку минус три. Закрашенную, естественно, раз уж скобочка перед минус тройкой – квадратная. Вот так:

        

 

        И отмечаем все остальные числа, входящие в промежуток от минус тройки до плюс бесконечности. На этот раз я отмечу нужный кусок оси дужкой (от слова дуга) вместо штриховки. Вот так:

        

 

        Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Рисуйте как удобнее. Но в сложных заданиях с неравенствами, где надо постоянно пересекать и объединять много промежутков, дужки предпочтительнее, ибо штриховка куда менее наглядна. Запутаться можно.

        Я предпочитаю совмещать оба способа. Получается красиво и наглядно! В следующем уроке, на примерах, сами увидите.)

        Вот так рисуются числовые промежутки на оси.

 

        Входит и выходит… ))

        А какая нам разница, входит число в указанный промежуток или не входит?

        Вопрос смешной. Огромная! Ответ на этот вопрос (входит/не входит) – это ключевой этап в работе с промежутками и с неравенствами вообще! Даже значки специальные придуманы для этого. Вот такие:

       

        ∉

        За этими странными значками скрываются безобидные слова "принадлежит" и "не принадлежит".

        Возьмём, к примеру, промежуток (1; 3].

        Входит в этот промежуток, допустим, двойка? Конечно! Раз уж она посерёдке между единичкой и тройкой… А единичка? Э-э-э… Скобка перед ней – круглая! Не входит единичка в наш промежуток. Тройка входит? Попадает на границу, но скобочка – квадратная. Значит, входит! А вот три с половиной – снова не входит. 3,5 строго больше, чем тройка. Выпадает 3,5 из нашего промежутка…

        Математически, с помощью значков принадлежности, эти факты можно записать вот так:

        

        Кратко и точно!)

        А словами можно прочитать вот так:

        Два принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).

        Или:

        Один не принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).

        И так далее…

 

        В этом уроке было простое чтение и рисование промежутков на оси. Пока – цветочки. Переходим к ягодкам. К операциям над числовыми промежутками. Те ещё грабли, да…) Об этом – в следующем уроке.

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать