ЗАДАТЬ ВОПРОС

Как решать дробные уравнения?

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений – дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно - дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения – незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно – в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем – настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

 

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, - это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        

        Или такое:

        

        Или вот такое:

        

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей – четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка – не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

 

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум – перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае – при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой – на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные – не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно – только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача – дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

 

        Решаем следующий примерчик:

        

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на "х".    

        Вперёд!

        

        А вот теперь – снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 – х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 – х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х – х2 = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса – нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х1 = 4

        х2 = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь – квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми – всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

 

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми – всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее – особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) – они ко всем видам уравнений относятся. И дробные – не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

 

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x2+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х2+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х2+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя – на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем – вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х – 3) в числителе первой дроби – думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x2 + 2x – 3x – 6 + 3 – х = 0

        x2 – 2x – 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

        x1 = -1

        x2 = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

 

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители – обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

 

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        

 

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x1 = 0,5;    x2 = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x1 = 2;    x2 = 5

 

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути – избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом – дальше.)

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать