ЗАДАТЬ ВОПРОС

Действия с логарифмами. Набиваем руку!

        В данном уроке мы будем учиться работать с логарифмом на уже весьма и весьма приличном уровне. Поэтому для успешного решения примеров этого урока рекомендую погулять по ссылкам:

        Что такое логарифм?

        Действия с логарифмами. Постигаем азы!

        Почитайте, пока не поздно.) Почитали? Всё понятно! Отлично! Тогда движемся дальше.)

        Теперь настал черёд завязывания более крепкой дружбы с логарифмами и, соответственно, решения серьёзных (в том числе сложных и нестандартных) примеров.

        Чтобы не скакать из темы в тему, прежде всего я ещё разочек выпишу все основные свойства и формулы логарифмов. Вот они:

       

       Это основной набор формул, необходимых для успешной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности. Иногда в школе (и в некоторых продвинутых учебниках) дают больше формул, но в целом приведённого перечня для решения большей части примеров оказывается вполне достаточно. Эти формулы надо помнить! Но, ещё раз повторяю, не просто помнить, а уметь применять! Причём в обоих направлениях – как слева направо, так и справа налево. Вроде бы это всё и так понятно и очевидно, но… дальше всё поймёте.) Как надо помнить формулы, я вам вряд ли смогу подсказать, а вот как уметь применять – подробно расскажу и покажу в этом уроке.

        Итак, продолжаем наши игры!

 

Все формулы. Все степени. Много дробей! Двоюродные и троюродные братья.

        Ну что ж, теперь приступаем к работе со всеми формулами (кроме последней формулы перехода к новому основанию). Используем все свойства степеней и активно включаем в работу степени с отрицательными и дробными показателями. Поди сообрази, что, например,

        0,04 = 5-2.

        Или

        

        Это уже не родные, а двоюродные и троюродные братья по степени получаются…)

        Посему, если есть пробелы в степенях, то для начала милости прошу сюда:

        Что такое степень. Свойства степеней.

        Ну, а для тех, кто со степенями давно на "ты" - продолжаем.)

        Пример 1

        

        За что зацепиться? Хорошо, если сразу догадались, а если нет? Если нет, значит, перечитываем первый практический совет прошлого урока – переходим к обыкновенным дробям!

        У нас в одну кучу намешаны десятичная дробь и смешанное число. Вот и перейдём к единообразию — к обычным дробям. А там, глядишь, и забрезжит свет в конце тоннеля…

        Пишем:

        

        

        

        Так, уже кое-чего проясняется: 49 с семёркой родня, а 100 – с десяткой:

        49 = 72

        100 = 102

        Стало быть, по свойствам степеней можно записать:

        

        Ну, вот и спасительный лучик света! Выносим двойку за логарифм и получаем:

        

        Уже всё стало выглядеть гораздо симпатичнее. Всё бы ничего, только основание 7/10 и аргумент 10/7 у нас записаны кверху ногами. Что делать? Да свойства степеней вспомнить! На этот раз – с отрицательным показателем:

        

        И снова выносим показатель степени (минус единицу) за знак логарифма, переворачиваем аргумент и получаем:

        

        Ответ: -2

        Готово дело.) Теперь пробуем самостоятельно:

        

        Ответ: -1

 

        А теперь вовлекаем в наш увлекательный процесс корни. То есть, не что иное, как… степени с дробными показателями. Да-да!

        Пример 2

        

        Надеюсь, вы не забыли, что lg – это просто логарифм по основанию 10? Или десятичный логарифм? Пример достаточно простой, без заморочек. Надо всего лишь вспомнить, что корень кубический из 7000 – это 70001/3. С семёркой – аналогично. А дальше по формуле разности логарифмов да по формуле деления степеней. Получим:

        

        Ответ: 1

 

        Вот так вот. Здесь мы снова перешли к обычным дробям. Но не от десятичных дробей или смешанных чисел, а от корней. В этом безобидном примере вполне можно было бы и без дробей обойтись, работать напрямую с корнями, но в более сложных примерах корни могут вконец запутать. Как, например, вот в таком примерчике:

 

        Пример 3

        

        С чего начать? И тройка есть, и девятка. Правда, три в квадрате – это и будет девятка… Но в примере ещё и корни разных степеней смешались в кучу – квадратный и кубический! Ужас… Но паниковать и сдаваться рано. Перейдём-ка от корней к степеням с дробными показателями! Распишем девятку как 32. А там, того гляди, всё и наладится.)

        Верные мысли! Итак, по свойствам степеней для основания и для аргумента мы можем записать:

        

        

        Вот всё и прояснилось.) Оба числа – и основание, и аргумент – оказались… родственниками! По тройке.) Только совсем уж дальними. Даже не троюродными, а десятиюродными братьями: основание – это три в степени 3/2, а аргумент – та же тройка, но в степени 7/3… Тем не менее факт остаётся фактом – родство по степени (хоть и очень дальнее) установлено. Вот и все формулы и свойства заработали! Выносим наши дробные показатели из за знак логарифма и аккуратно считаем:

        

        Вот так. Здесь уже, конечно, немножко повозиться со степенями пришлось. А что делать… Так что не стесняемся переходить от корней к дробям! И всё получится. Обязательно.)

        Вот вам и очередные практические советы:

        При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

         При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

       

        Что ж, пришла пора разгрызть и какой-нибудь особо крепкий орешек. Как, например, вот такой примерчик:

        Пример 4

        Вычислить:

        Опять же, с чего начинать? Если имеете хоть малейшее представление – флаг вам в руки. Вперёд и с песнями, как говорится.) Если понятия не имеете – подключаем зелёные практические советы и размышляем синим цветом. Примерно так:

        "Ух, наворотили… Кошмар! Напролом явно не решается, надо сначала как-то преобразовывать пример. Но – как? Будем вспоминать практические советы.

        1. Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

        Где здесь дроби? Дробей не видно. Ладно, этот пункт пока пропустим. Что там у нас ещё есть? Вот это:

        2. Степени популярных чисел надо знать. В лицо! При наличии в примере разных чисел пытаемся найти «братьев по степени».

        Так, кое-какая зацепочка уже появилась… 121 – это 11 в квадрате. Ещё можно расписать 125 как 5 в кубе и 9 как 3 в квадрате, но 5 и 3 – никакие не братья и не сёстры по степени. Пригодится или нет – пока непонятно, но к сведению примем. Поехали дальше.)

        3. Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот – любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

        Коэффициентов в нашем примере нет, логарифмы и так чистые. Отметаем этот совет. Что у нас там ещё припасено?

        4. Всегда прикидываем, нельзя исходное выражение преобразовать под какую-нибудь готовую формулу?

        Вот и прикидываем: на что похож внешний вид нашего примера? Ну же? Ну, конечно! На самую первую формулу – основное логарифмическое тождество! Единственная формула, где логарифм тусуется в показателе степени.

        

        С ним мы пока что ни разу не работали. Что ж, поработаем! Попробуем преобразовать наш пример под эту формулу: других вариантов как-то выкрутиться у нас просто нет!

        Но в формуле в показателе стоит один логарифм! А у нас – сумма. Что нам мешает сложить логарифмы по соответствующей формуле суммы? Основания мешают! Они… они – разные! Ну-ка, может, ещё не все практические советы у нас использованы? Вспоминаем:

        5. При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями. При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

        Так, ну дробей в нашем примере нету, это видно. А вот корень в основании – преобразуем. Вот так:

        А во втором логарифме в основании тоже стоит 11, только в квадрате… Уже кое-какие проблески! Выпишу-ка я показатель отдельно, дабы не запутаться… С учётом наших размышлений.)

        

        Уже лучше. Теперь выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами (не забыть бы перевернуть…):

        

        Великолепно! Основания логарифмов выровнялись! Только вот новая беда… Коэффициенты появились... Хотелось бы сложить логарифмы, ан нет, не канает… Так стоп! Чего же я туплю-то! Можно же их по другой формуле спрятать вовнутрь!

        

        Ну вот. Уже идеально для формулы сложения! Только внутри логарифмов что-то несусветное стало твориться. Не беда, перейдём к маленьким числам: зря, что ли, мы 125 и 9 в виде степеней пятёрки и тройки расписывали?

        

        Пока всё чин-чинарём. Теперь, по правилам действий со степенями, можно записать:

        

        Вот, практически, и всё. Досчитываем наш показатель по формуле сложения логарифмов:

        

        Пример становится всё лучше и лучше! Возвращаемся к нашему исходному примеру, вставляем в него наш преобразованный показатель и получаем ответ!

        

        Йес!!! Ничего себе, примерчик, однако ж…"

        Ответ: 75

 

        Вот такой пример. Запутанный, да, я не спорю. И зачем я так детально его разобрал? С практическими советами, мыслями… Мог бы и в пару строк уложиться... Дело в том, что разбор одного конкретного примера – занятие бесполезное. Не попадётся он. А вот разъяснить на конкретном примере, как именно надо выкручиваться в любом (да-да, любом!) задании – совсем другое дело!

        Главное в этом разборе – подход. Мы применяем весь наш арсенал инструментов к конкретному примеру. Пробуем поочерёдно все инструменты, как ключики к замку. Что-то срабатывает, а что-то нет. Это не страшно и не смертельно. Не подошло – пробуем что-то другое! Что-то обязательно подойдёт! Сложные и запутанные задания именно так и решаются. И никак иначе.)

        Конечно, с опытом всё будет делаться гораздо короче и какие-то шаги будут в уме делаться и вообще пропускаться. За ненадобностью. Тут практика рулит. Тренироваться и решать надо. Используя изложенный здесь подход. И тогда всё получится. Обязательно!

 

Формула перехода к новому основанию. Немного приколов… И немного формул сокращённого умножения.

        Поднимаемся ещё на ступень повыше. Запускаем теперь в дело самую последнюю формулу из нашего списка – это формула перехода к новому основанию. Вот она:

        

        В чём суть этой формулы, когда она применяется и как именно она работает? Объясняю по пунктам.

        Формула эта применяется, когда основания логарифмов – разные. Но не просто разные, а ещё и не родственные по степени! Которые друг в друга через простую степень не превращаются. Скажем, 2 и 3. Или 5 и 7. Заметьте, что нам уже встречались разные основания у логарифмов в одном и том же примере, но там или всё и так славненько срасталось, или переход был через степени. Например, если основания логарифмов 1/125 и 25, то можно догадаться, что это родня! По пятёрке. Ибо 1/125 = 5-3, а 25 = 52. Не так очевидно, конечно, но и мы уже всё-таки на серьёзном уровне с вами. А дальше дело техники: выносим показатели за логарифмы и – вперёд.

        Но если основания не родственные, а без выравнивания оснований в примере никак, то выход только один – работать по этой формуле.

        Запомнить её очень легко. По шагам:

        1) Слева пишем логарифм, основание которого нам не нравится. Справа рисуем черту дроби.

        2) В числитель пишем логарифм числа b, но уже по новому основанию k. Какому именно основанию? А какому угодно! В том-то весь и фокус! Естественно, тому, которое нам удобнее. Кроме единицы, разумеется.)

        3) В знаменатель пишем логарифм старого основания a по тому же новому основанию k.

        Обратите внимание на саму структуру формулы: слева в основании буквы k вообще нет! В этом-то и вся фишка! Это означает, что новому логарифму мы можем выбрать какое угодно основание. Обычно выбирают то, которое нам удобно в конкретном примере. Если, скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один по основанию 7, то его и менять будем. На тройку.

        А в знаменатель пишем логарифм старого основания. Так уже математика требует. В результате логарифм со старым основанием исчезает из примера. Вот и всё. Вот и вся суть формулы перехода. Ну что, посмотрим на формулу перехода в действии?

        Пример 5

        Вычислить:

        Что тут можно увидеть? Ну, во-первых, разные основания. Причём не родственные: из четвёрки пятёрку простым возведением в степень никак не получить. Во-вторых, наблюдаем произведение логарифмов. Такой формулы в наших свойствах нету. Не путаем с логарифмом произведения! Или с суммой логарифмов… Что же делать? Первым делом перейдём к одному основанию. Что-то же делать всё равно надо! К какому основанию пойдём? Ну, ясное дело, что не к 30 или 1,234. У нас на выбор два варианта – либо к четвёрке, либо к пятёрке. В данном примере абсолютно без разницы, к чему переходить. Давайте к четвёрке пойдём: всё-таки число поменьше.) Итак, первый логарифм не трогаем (у него и так основание четыре), а вот второй логарифм превращаем по формуле перехода в дробь:

        

        Всё. Логарифм по основанию 5 из примера благополучно исчез, и в основаниях остались только четвёрки. Вставляем полученную дробь в наш пример, упрощаем и считаем:

        Ответ: 2

        Вот так. Откуда же я узнал, что надо переходить к другому основанию? Ведь я мог и что-то ещё замутить. Скажем, log516 расписать как

        log516 = log524 = 4log52

        и дальше как-то ещё выкручиваться. Да. Можно. Но с богатым опытом приходит уже так называемое математическое чутьё на формулы и преобразования.) Когда в уме наперёд уже умеешь просчитывать, к чему может привести тот или иной манёвр и не идёшь по заведомо негодному пути.

        Вот вам очередной практический совет на данную тему.

        Если перед вами сложное логарифмическое выражение, в котором основания логарифмов разные, то первым делом пробуем сделать их одинаковыми. Или через степени или по формуле перехода. Очень часто этот манёвр срабатывает проясняет дальнейшую ситуацию.

        А теперь рассмотрим один фокус на формулу перехода, который частенько любят проделывать составители примеров. По-другому эту фишку даже и не назовёшь. Настолько элементарна, а в тупик может поставить даже отличника!

        Пример 6

        Вычислить:

        

        Основания уже одинаковые, но формулы деления логарифмов не существует, да… Можно, конечно, сообразить, что 125 = 53 и старым добрым способом, но что делать, если внутри логарифмов сидит что-нибудь более навороченное? Вот и впадают в ступор…

        Здесь же достаточно всего лишь разглядеть формулу перехода к новому основанию. Вернее, не просто формулу, а её правую часть! И, если запустить эту формулу справа налево, то сразу получим:

        И все дела! Да-да! Это ответ.)

        Ответ: 3

        Частенько эту фишку применяют с какими-нибудь совершенно дикими основаниями. На испуг берут, типа.) Как, например, вот такое задание:

        Пример 7

        Вычислить:

        В основании число "пи", как тут не испугаться… Однако, если догадаться, что наша ужасная дробь – всего лишь правая часть формулы перехода к новому основанию и сработать справа налево, то получим всего-навсего:

        Вот и всё. И нету больше никакого "пи".) А уж сложить парочку логарифмов с одинаковыми основаниями – пустяшное дело. Не пример, а одно удовольствие:

        log1236 + log124 = log12144 = 2

        Ответ: 2

        Вот такой вот приёмчик. Теперь, надеюсь, не растеряетесь, в случае чего.)

        Рассмотрим ещё одну распространённую фишку с формулой перехода. Вернее, её частный случай.

        Что произойдёт, если за новое основание мы возьмём аргумент логарифма? Давайте посмотрим!

        Во как! Оказывается, если поменять местами a и b, то наш новый логарифм станет всего лишь обратным к старому! Весьма и весьма полезная формулка. Имеет смысл запомнить.) Решим примерчик и на эту тему:

        Пример 8

        Вычислить:

        Что делать будем? Скобки раскрывать? Можно, конечно, но пример явно намекает на более элегантное преобразование. Перейдём в логарифме по основанию 40 к основанию 2. Двойка чем-то привлекательнее, чем сорок, не находите?) Поскольку в аргументе логарифма стоит также двойка, то при переходе к основанию 2 достаточно просто перевернуть этот логарифм. И все дела.)

        Получим:

        И что дальше? Куда пристегнуть тройку? А дальше новый фокус! Дело всё в том, что мы не можем напрямую сложить логарифм и число. Но зато логарифмы между собой – запросто! Как выкрутимся? А сделаем-ка из тройки… логарифм! Да-да! Для этого сначала выберем ему основание. Вариантов выбора много, но я предлагаю выбрать 2. Думаю, возражений не будет?)

        А дальше пишем вот такое простое равенство:

        3 = log223

        Всё легко и просто: тройка уходит показателем в степень нашего выбранного основания. Сама цепочка превращений выглядит вот так:

        По этапам:

        1) Вместо тройки пишем степень с выбранным основанием 2 и показателем, равным этой самой тройке.

        2) Берём логарифм от этой степени по тому же самому основанию 2.

        3) Всё!

        Конечно, можно было бы и сразу тройку на логарифм заменить, благо здесь числа совсем простые, но лучше запомнить эту простую цепочку. А то придётся где-нибудь, к примеру, превращать в логарифм по основанию 11 число 1/7… А по цепочке всё совсем элементарно:

        Просекли фишку? Тогда возвращаемся к нашим баранам и дорешиваем:

        Ответ: 1

        Да… Кто бы мог подумать.)

        Конечно, в числовых выражениях этот приёмчик с превращением числа в логарифм достаточно экзотичен. Но вот в логарифмических уравнениях и неравенствах он применяется на полную катушку! Имейте его в виду.)

        Заметьте, что обычно мы стараемся поступать наоборот - упрощать всякие ужасы типа дробей, корней, синусов да логарифмов. Доводить их, по возможности, до конечного числа. А тут – наоборот, из числа делаем логарифм. Что хотим, то и творим! Так что математика – на самом деле весьма и весьма творческая наука! Во многом даже искусство.)

        Запоминаем:

        При необходимости любое число можно превратить в логарифм по любому основанию (кроме единицы, конечно).

        Осталось разобраться с совсем уж хардкорными примерами. Где и так пробуешь и сяк, но не упрощается он никак! На такие примеры есть своё особое секретное оружие.) Срабатывает безотказно. Если уметь грамотно им пользоваться, конечно. Как вам такой примерчик!

 

        Пример 9

        Вычислить:

        За что зацепиться? Все основания уже одинаковые (семёрка), но это особо не спасает. Кстати, обращаю ваше внимание на весьма и весьма частый косяк. В числителе стоят квадраты логарифмов. Именно самих логарифмов, а не их аргументов! Это означает, что вынести двойки из логарифмов наружу мы не имеем права! Не там двойки стоят… Стало быть, уже привычных нам логарифмических формул, готовых к употреблению, нету. Что же делать?

        Спокойно! Без паники! Никто и никогда не может гарантировать, что сразу влёт всё решится.) К сожалению…

        Чтобы расправиться с этим злым примером, забудем на минутку про логарифмы и плавненько переместимся в седьмой класс. Формулы сокращённого умножения не забыли, надеюсь? А теперь внимательно присматриваемся к нашему примеру. Что ещё, кроме логарифмов, в нём можно увидеть? Разность… Разность ква… Ну, конечно! Разность квадратов! Такая родная и до боли знакомая формула:

        a2b2 = (a-b)(a+b)

        Правда, в применении к логарифмам. Ну и что из этого? Ведь в формуле под буковками a и b может скрываться всё что угодно – и логарифмы, и синусы, и степени – любые выражения! Формула всё равно сработает!

        Итак, заменяем наш числитель на произведение скобок по формуле разности квадратов:

        Вот и всё встало на свои места! И все формулы заработали! Решать пример стало одно удовольствие.)

        В первых скобках (разность) получается:

Во вторых скобках (сумма) будет:

        Вставляем в пример наши промежуточные результаты, сокращаем и получаем:

Ответ: 1

        Простенько и со вкусом.) Здесь-то всё ясно. Но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ подобный пример может и в ступор вогнать. Дело всё в том, что большинство учеников подсознательно пытаются решить пример в том формате, в котором он задан. Например, если задан пример на логарифмы, то мы с головой погружены в логарифмы и варимся только в них, а вынырнуть на поверхность да оглядеться вокруг – не можем. С тригонометрией аналогично – решаем пример только в рамках тригонометрии. И, в случае чего, не можем напрячься и выскочить из этих жёстких рамок… А надо уметь! Хотя бы иногда.)

        Посему очередной по счёту практический совет:

        Замороченные примеры проверяем на алгебру седьмого класса – разложение на множители, формулы сокращённого умножения и т.п.

        Ещё из той же оперы для самостоятельного решения:

lg24 + lg16·lg25 + lg225 =

Ответ: 4

 

        Ну что, поздравляю! Вот мы и набрались достаточного количества знаний для уверенной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности! Дальше путь только один – решать примеры! Как можно больше.) И особо рекомендую не пренебрегать зелёными советами. Они не зря даются в материале.) Их надо помнить и им надо следовать.) И тогда не логарифмы будут командовать вами, а вы – логарифмами.)

        До встречи!

Статья 1
22.12.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 2
26.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать
Статья 3
24.05.2016

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Читать